양자 측정의 무작위성은 증명 불가능

초록

본 논문은 양자 측정 결과가 진정한 무작위성을 가진다는 것을 수학적으로 증명할 방법이 존재하지 않음을 보인다. 알고리즘적 복잡도와 형식적 증명 체계의 한계를 이용해, 무작위성을 검증하려는 모든 시도는 결국 불완전하거나 비결정론적이다는 결론에 도달한다.

상세 분석

양자역학에서 측정 결과가 확률적으로 기술된다는 사실은 실험적으로는 확고히 확인되었지만, 그 확률성을 “진정한 무작위성”으로 정의하고 증명하는 문제는 수학적 논리 체계 안에서 새로운 차원의 어려움을 제기한다. 논문은 먼저 무작위성을 알고리즘적 복잡도, 즉 Kolmogorov 복잡도로 정의한다. 어떤 문자열이 충분히 긴 경우, 그 문자열을 생성하는 가장 짧은 프로그램의 길이가 문자열 자체의 길이에 비례한다면 그 문자열은 무작위라고 간주한다. 이 정의는 형식적 증명 체계와 깊은 연관을 가진다. 왜냐하면 무작위성을 증명하려면 특정 문자열이 짧은 프로그램으로 생성될 수 없음을 증명해야 하는데, 이는 일반적으로 “어떤 프로그램이 존재하지 않는다”는 부정 존재 명제를 증명하는 문제와 동일하다.

그런데 Gödel의 불완전성 정리와 Chaitin의 정보론적 불완전성 정리는 이러한 부정 존재 명제가 형식 시스템 내에서 완전하게 증명될 수 없음을 보여준다. 특히 Chaitin은 어떤 충분히 큰 상수 Ω(오메가)를 정의했으며, 이 상수는 어떤 보편 튜링 기계가 무한히 진행될 때 멈추는 프로그램들의 확률적 합을 나타낸다. Ω의 비트열은 알고리즘적으로 무작위이며, 그 어떤 비트도 유한한 증명 체계 안에서 결정될 수 없다는 것이 증명된다. 논문은 이 결과를 양자 측정에 직접 연결한다. 양자 측정 결과를 무한히 반복하여 얻은 비트열을 Ω와 동등시킬 경우, 그 비트열이 무작위임을 증명하려면 Ω의 비트를 결정해야 하는데, 이는 불가능하다. 따라서 “양자 측정이 무작위이다”라는 명제는 형식적 증명 체계 내에서 증명 불가능한 명제로 남는다.

또한 논문은 통계적 검증 방법, 예를 들어 p‑값 검정이나 무작위성 테스트 배터리(NIST, Diehard 등)의 한계도 논의한다. 이러한 방법들은 경험적으로는 무작위성을 ‘보여줄’ 수 있지만, 근본적으로는 무작위성을 완전히 증명하는 것이 아니라 가설 검정의 형태에 불과하다. 즉, 무작위성을 ‘보여줄’ 수는 있지만, ‘증명할’ 수는 없다는 점을 강조한다. 마지막으로 저자는 양자 암호학에서 무작위성 가정이 어떻게 활용되는지를 검토하고, 실제 시스템 설계 시에는 무작위성 검증이 아니라 무작위성 생성 장치의 물리적 신뢰성을 기반으로 해야 함을 제안한다. 전체적으로 논문은 무작위성의 형식적 정의와 양자 측정의 물리적 특성을 연결함으로써, 무작위성을 증명하려는 모든 시도가 근본적인 수학적 한계에 부딪힌다는 강력한 논증을 제시한다.