인구 성장 모델의 수치 해법: 유리 체비쉐프와 에르미트 함수 콜로케이션 비교

초록

본 논문은 폐쇄계 내 독소 효과를 포함한 볼테라 모델을 풀기 위해 유리 체비쉐프(RC)와 에르미트 함수(HF) 콜로케이션 방법을 제시하고, 두 방법을 기존 수치 해법과 비교한다. 정규 직교함수를 이용한 콜로케이션이 비선형 적분미분 방정식을 대수식 시스템으로 변환함을 보이며, 정확도와 계산 효율성에서 우수함을 입증한다.

상세 요약

볼테라 인구 성장 모델은 (\frac{dx(t)}{dt}=rx(t)\Bigl(1-\frac{x(t)}{K}\Bigr)-\int_{0}^{t} \beta,x(s),ds) 형태의 비선형 적분미분 방정식으로, 첫 번째 항은 로지스틱 성장, 두 번째 항은 독소 축적에 의한 억제 효과를 나타낸다. 이와 같은 비선형 적분항은 전통적인 유한 차분법이나 Runge‑Kutta 방법으로는 시간 복잡도가 급격히 증가하고, 경계 조건 처리에 어려움이 있다. 따라서 무한 구간에 정의된 직교함수 기반의 스펙트럴 콜로케이션이 유망한 대안으로 떠오른다.

유리 체비쉐프 함수는 (\phi_n(x)=T_n!\bigl(\frac{x-L}{x+L}\bigr)) 로 정의되며, 변수 변환 (\xi=\frac{x-L}{x+L}) 를 통해 유한 구간 (