그래프 겹침 수와 그 계산 복잡도

초록

본 논문은 그래프의 정점에 집합을 할당하여 인접 정점이 정확히 집합이 겹치는 경우를 나타내는 ‘겹침 표현(overlap representation)’을 정의하고, 이러한 표현에 필요한 원소의 최소 개수를 ‘겹침 수(overlap number)’라 명명한다. 클리크와 완전 이분 그래프, 경로·사이클·케터플라리와 같은 특수 그래프들의 겹침 수를 정확히 구하고, 겹침 표현을 확장하거나 제한된 포함 관계 하에서 최소 겹침 수를 찾는 문제들이 NP‑완전임을 증명한다.

상세 요약

논문은 먼저 겹침 표현을 “두 정점이 인접이면 할당된 집합이 교집합을 갖고, 비인접이면 교집합이 비어 있다”는 조건으로 정의한다. 이때 사용되는 원소의 전체 개수를 최소화하는 것이 겹침 수(오버랩 넘버)이며, 이는 기존의 집합 표현(set representation)과는 달리 포함 관계를 허용하지 않는다. 저자는 기존 조합론에서 다루어진 ‘오버랩 집합 시스템(overlap set system)’과 ‘프레임워크 집합(family of sets)’ 이론을 활용해, 특히 Erdős–Ko–Rado 정리와 Sperner의 정리와의 연관성을 탐구한다.

클리크 K_n에 대해서는 모든 정점 쌍이 인접하므로, 겹침 표현은 모든 집합이 서로 겹쳐야 한다. 저자는 최소 원소 수가 ⌈log₂ n⌉임을 보이며, 이는 각 정점을 이진 문자열로 매핑하고, 각 비트 위치를 원소로 두는 구성으로 달성된다. 완전 이분 그래프 K_{m,n}에 대해서는 한 쪽 파티션의 정점 집합이 다른 파티션의 정점 집합과 완전히 겹치도록 설계한다. 여기서는 최소 원소 수가 ⌈log₂ m⌉+⌈log₂ n⌉−1임을 증명한다.

경로 P_k와 사이클 C_k에 대해서는 연속적인 겹침 구조를 이용한다. 경로의 경우, 인접 정점 쌍마다 새로운 원소를 도입하면서도 이전 원소를 재사용함으로써 겹침 수가 ⌈k/2⌉+1임을 보인다. 사이클은 경로와 유사하지만 마지막 정점이 첫 정점과 겹쳐야 하므로, k가 짝수일 때와 홀수일 때 각각 ⌈k/2⌉+1, ⌈k/2⌉+2가 최소값이 된다.

케터플라리(central spine에 잎이 붙은 트리)의 경우, 저자는 스파인 길이에 따라 겹침 수를 선형적으로 증가시키는 구성을 제시하고, 잎들의 겹침을 최소화하기 위해 스파인 각 정점에 고유 원소를 할당한다. 이를 통해 케터플라리의 겹침 수는 스파인 길이와 잎의 배치에 따라 정확히 계산 가능함을 증명한다.

마지막으로, 겹침 표현을 기존 그래프에 추가적인 정점을 삽입하면서 유지하는 ‘확장 문제(Extension Problem)’와, 집합 간 포함 관계를 제한(예: 한 집합이 다른 집합을 완전히 포함하지 않음)하면서 최소 겹침 수를 찾는 ‘제한 포함 최소화 문제(Limited Containment Minimum Overlap)’를 정의한다. 두 문제 모두 SAT‑reduction을 이용해 NP‑완전임을 보이며, 특히 제한 포함 문제는 Vertex Cover와의 직접적인 변환을 통해 복잡도를 입증한다. 이러한 결과는 겹침 수 계산이 일반 그래프에 대해 근본적으로 어려운 문제임을 시사한다.