준주기 무한어의 최대 부분단어 복잡도

초록

본 논문은 준주기(q)라는 고정된 유한 문자열에 의해 전체가 덮여 있는 무한어들의 부분단어 복잡도 상한을 정확히 추정한다. 저자들은 q를 기반으로 하는 유한 언어 L(q)를 구성하고, 이 언어가 접미사 코드이며 제한된 식별 지연을 갖는다는 사실을 증명한다. 이를 통해 기존의 부분단어 복잡도 이론과 형식적 멱급수 분석을 결합하여, 모든 준주기 무한어에 대해 가능한 최대 복잡도 함수를 명시한다.

상세 분석

논문은 먼저 “준주기”라는 개념을 정형화한다. 문자열 q가 어떤 무한어 w의 준주기라는 것은 w의 모든 위치가 q의 복사본 안에 포함된다는 의미이며, 이는 w를 q의 겹침(오버랩)으로 표현할 수 있음을 뜻한다. 저자들은 이러한 구조를 명시적으로 기술하기 위해, q의 모든 접미사를 모은 집합 S(q)와, S(q)에서 선택된 접미사들의 연속적인 연결을 통해 생성되는 언어 L(q)를 정의한다. L(q)는 본질적으로 q의 복사본들 사이에 삽입될 수 있는 “간극”들을 기술하는데, 각 간극은 q의 접미사이면서 동시에 q의 접두사와 겹치는 형태를 가진다. 중요한 점은 L(q)가 접미사 코드(suffix code)라는 사실이다. 즉, L(q) 안의 어떤 두 단어도 서로의 접미사 관계에 있지 않으며, 이는 문자열을 역으로 해독할 때 중복이 발생하지 않음을 보장한다. 더 나아가 저자들은 L(q)의 “식별 지연(decipherability delay)”이 q의 길이에 의해 유계임을 증명한다. 이는 L(q) 내의 어느 단어를 읽어도, 일정한 길이 이하의 추가 정보만으로 그 단어가 L(q)의 어느 원소인지 확정할 수 있음을 의미한다. 이러한 구조적 특성은 부분단어 복잡도 분석에 핵심적인 역할을 한다.

다음 단계에서는 기존의 부분단어 복잡도 이론, 특히 Cassaigne와 Rauzy가 제시한 복잡도 상한과 하한 결과를 활용한다. L(q)가 접미사 코드이면서 유한한 지연을 갖는다는 점은, q에 의해 생성된 모든 무한어가 동일한 복잡도 성장률을 공유한다는 강력한 결론을 도출한다. 구체적으로, 저자들은 형식적 멱급수(formal power series)를 이용해, 길이 n인 부분단어의 개수를 계수하는 생성함수를 구성한다. 이 생성함수는 L(q)의 구조적 제약에 의해 다항식 형태로 제한되며, 결국 최댓값은 q의 길이와 그 접미사 집합의 크기에 의해 결정된다.

마지막으로, 논문은 이러한 이론적 결과를 몇 가지 대표적인 준주기 무한어(예: Fibonacci word, Thue–Morse word의 변형)와 비교한다. 실험적 계산을 통해 제시된 상한이 실제 복잡도와 일치함을 확인함으로써, 제시된 방법론이 정확하고 일반적인 적용 가능성을 갖는다는 것을 입증한다. 전체적으로, 이 연구는 준주기 구조가 부분단어 복잡도에 미치는 영향을 정량적으로 규명함으로써, 형식 언어 이론과 조합적 문자열 분석 사이의 연결 고리를 강화한다.