전파 규칙을 이용한 새로운 상수 가중치 코드

초록

**
이 논문은 기존의 q진법 코드를 활용해 이진 상수 가중치 코드를 생성하는 간단한 전파 규칙들을 제시한다. 제안된 규칙을 통해 여러 파라미터 구간에서 알려진 최선의 하한을 개선하거나 새롭게 하한을 제시한다.

**

상세 분석

**
본 논문은 상수 가중치 이진 코드의 크기 (A(n,d,w)) 에 대한 새로운 하한을 얻기 위해, q진법 코드의 코사이트(coset) 구조를 이용하는 두 가지 전파 규칙을 제시한다. 첫 번째 규칙(Theorem 2.1)은 길이 (n) 과 최소거리 (d) 를 만족하는 q진법 코드 (C) 가 존재하면, 임의의 무게 (w) 에 대해 ((n,2\lfloor (d+1)/2\rfloor ,w)) 코드를 구성할 수 있음을 보인다. 여기서 핵심 아이디어는 (Z_q^n) 의 모든 코사이트 (u+C) 와 무게 (w) 집합 (J_n(w)) 의 교집합을 취해 이진 코드워드를 얻는 것이다. 교집합의 크기는 코사이트마다 달라질 수 있으므로, 최댓값 (N) 을 선택하면 새로운 코드의 크기가 (N) 이 된다.

두 번째 규칙(Theorem 2.2)은 평균적인 코사이트 크기를 이용해 하한을 추정한다. 전체 (q^n) 개의 코사이트에 대해 무게 (w) 코드워드가 균등하게 분포한다고 가정하면, 최소 하나의 코사이트는 평균보다 크거나 같은 교집합을 갖게 된다. 이를 수식으로 정리하면
\