가우치 비율과 n차원 단위구의 부피
본 논문은 감마 함수 비율 γ(x+½)/γ(x) 를 무한곱 형태로 전개하고, 이를 이용해 n차원 유클리드 공간의 단위구 부피 Ω(n) 에 관한 다양한 비율 Ω(n‑1)/Ω(n) 및 Ω(n)²/(Ω(n‑1)Ω(n+1)) 에 대한 새로운 등식과 부등식을 도출한다. 특히 Gautchi 비율의 ‘공동인자’를 활용해 하한·상한을 점진적으로 개선하는 방법을 제시한다.
저자: D.Karayannakis
이 논문은 감마 함수 비율 γ(x+½)/γ(x) 를 무한곱 형태로 전개하고, 이를 ‘Gautchi 비율’이라 부른다. 저자는 이 비율을 ‘공동인자 f(x,a)’라는 함수로 정의하고, 그 부분곱 \(f_m(x,a)\) (‘m‑truncate’)을 이용해 실제 계산에서 유용한 근사값을 만든다.
단위구 부피 Ω(n) 는 \(\Omega(n)=\pi^{n/2}/\Gamma(1+n/2)\) 로 주어지며, Gautchi 비율을 적용하면
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