완전 삭제 정정 코드 크기 스펙트럼

초록

본 논문은 길이 3의 1‑삭제와 길이 4의 2‑삭제에 대해, 같은 알파벳 크기 q를 갖는 완전 삭제‑정정 코드가 가질 수 있는 모든 코드워드 수(크기)의 집합을 완전 규명한다. 특히 길이 3의 1‑삭제 코드에 대해서는 모든 q에 대해 스펙트럼을 정확히 구하고, 길이 4의 2‑삭제 코드에 대해서는 대부분의 q에 대해 동일한 결과를 얻으며, 남은 소수의 경우는 아직 미해결 상태로 남긴다.

상세 분석

완전 삭제‑정정 코드는 Levenshtein 거리에 대한 반경 t 볼이 서로 겹치지 않도록 설계된 코드 집합이다. 일반적인 완전 오류‑정정 코드와 달리, 삭제 볼의 크기는 문자열의 구조에 따라 달라지므로 동일한 (n, q, t) 파라미터라도 가능한 코드워드 수가 다중값을 가질 수 있다. 이 논문은 이러한 현상을 정량화하기 위해 “크기 스펙트럼”(possible sizes)이라는 개념을 도입하고, 구체적인 (n, q, t) 조합에 대해 전수 탐색과 조합 설계를 결합한 방법론을 제시한다.

첫 번째 주요 결과는 n = 3, t = 1인 경우이다. 여기서는 각 코드워드가 길이 3인 q진법 문자열이며, 1‑삭제 볼은 문자열에서 하나의 위치를 제거한 모든 2‑문자열을 포함한다. 볼의 크기는 문자열에 중복 문자가 있느냐에 따라 2 또는 3이 된다. 저자들은 이를 이용해 가능한 볼 크기 조합을 완전히 분류하고, 구체적인 구성을 통해 각 q에 대해 가능한 코드 크기를 {⌊q²/2⌋, ⌈q²/2⌉, q(q‑1)/2, q(q+1)/2} 등으로 명시한다. 특히 q가 짝수일 때와 홀수일 때의 차이를 정밀히 분석하여, 모든 q에 대해 스펙트럼이 정확히 두 개 혹은 네 개의 값으로 제한된다는 사실을 증명한다.

두 번째 주요 결과는 n = 4, t = 2인 경우이다. 2‑삭제 볼은 길이 4 문자열에서 두 위치를 선택해 제거한 모든 2‑문자열을 포함한다. 여기서는 볼의 크기가 1, 2, 3, 4, 5, 6 등 다양한 값을 가질 수 있어 combinatorial explosion이 발생한다. 저자들은 기존의 설계 이론(예: 그룹 나눔 설계, 라틴 사각형, Steiner 시스템)과 최신 정수선형계획(ILP) 기법을 결합해, 대부분의 q에 대해 가능한 볼 크기 조합을 제한하고, 그에 대응하는 코드 크기를 전산적으로 검증하였다. 결과적으로 q ≥ 7인 대부분의 경우에 대해 스펙트럼이 {q³‑3q²+2q, q³‑2q²+q, q³‑q²} 등으로 수렴함을 확인했다. 아직 해결되지 않은 소수의 q(예: q = 5, 6)에서는 일부 구성이 존재할 가능성이 남아 있어, 향후 연구 과제로 남겨졌다.

이 논문의 핵심 통찰은 “볼 크기의 불균등성”을 정량화하고, 이를 조합 구조와 연결시켜 코드 크기의 가능한 범위를 완전히 규정한다는 점이다. 또한 전통적인 구형(球形) 패킹 한계가 아닌, “가변 구형” 패킹 모델을 도입함으로써 삭제 채널에 특화된 완전 코드 이론을 한 단계 끌어올렸다.