트리 위 가중치 재귀와 멱법칙 꼬리분포

초록

본 논문은 가중치가 부여된 확률적 재귀식의 해가 멱법칙 꼬리를 갖는 조건을 연구한다. 이를 위해 골디의 암시적 갱신 정리를 트리 구조에 확장하는 방법과, 가중치가 있는 재귀적 랜덤 합의 표본 경로 대규모 편차 분석을 결합한 두 가지 접근법을 제시한다. 결과는 가중치 분기 과정과 알고리즘 분석에 새로운 도구를 제공한다.

상세 분석

논문은 먼저 전통적인 일차형 가중치 재귀식 (R \stackrel{d}{=} \sum_{i=1}^{N} C_i R_i + Q) 에 대한 멱법칙 꼬리 존재 조건을 검토한다. 여기서 (N) 은 자식 수, (C_i) 는 양의 가중치, (Q) 는 외부 입력이며, (R_i) 는 독립 복제본이다. 기존 연구는 주로 단일 루트에서의 재귀에 국한되었지만, 본 논문은 이 구조를 무한 트리로 일반화한다. 트리 위에서 각 노드는 자체적인 (N) 과 (C_i) 값을 갖고, 하위 노드들의 값이 독립적으로 전파되는 형태를 모델링한다.

첫 번째 접근법은 골디(1991)의 암시적 갱신 정리를 트리 형태에 맞게 확장한다. 핵심은 (M(s)=\mathbb{E}\big