입력이 함수 자체를 정의하는 함수들의 세계

초록

본 논문은 입력값이 함수의 동작 규칙을 기술하는 자기 기술(self‑describing) 함수들의 존재를 증명하고, 이러한 함수가 랜덤 오라클 모델의 부정적 결과, 셀룰러 오토마톤 규칙 30의 복잡성, 그리고 진정한 무작위성의 결정론적 본질 등에 미치는 영향을 탐구한다.

상세 요약

논문은 먼저 “입력‑기술 함수”라는 새로운 함수 클래스를 정의한다. 이 클래스의 핵심은 입력값 x가 단순히 함수 f에 전달되는 데이터가 아니라, f가 수행해야 할 연산 혹은 알고리즘 자체를 서술한다는 점이다. 형식적으로는 f : Σ* → Σ* 로 정의하고, 입력 x ∈ Σ* 를 두 부분으로 분리한다. 첫 번째 부분 x₁은 “명령어 시퀀스” 혹은 “프로그램 코드” 역할을 하며, 두 번째 부분 x₂는 그 명령어가 작동할 데이터이다. 따라서 f(x) = Eval(x₁, x₂) 형태가 되며, Eval는 x₁에 기술된 절차를 x₂에 적용하는 해석기 역할을 한다. 이러한 구조는 전통적인 함수 개념을 뛰어넘어, 함수 자체가 일종의 메타프로그래밍 환경을 제공한다는 점에서 혁신적이다.

논문은 이 개념을 수학적 논리와 계산이론의 관점에서 정형화한다. 특히, 입력이 함수 정의를 포함하는 경우, 함수의 그래프는 재귀적인 자기참조를 내포하게 되며, 이는 고정점 이론과 연관된다. 저자는 쿠어의 불완전성 정리와 연결하여, 어떤 입력‑기술 함수는 자체적으로 무한 루프에 빠지거나, 결정 불가능한 문제를 인코딩할 수 있음을 보인다.

다음으로, 이러한 함수가 랜덤 오라클 모델(ROM)에 미치는 영향을 분석한다. ROM에서는 해시 함수와 같은 이상적인 무작위 함수가 존재한다고 가정하지만, 입력‑기술 함수는 “무작위”라는 가정을 깨뜨린다. 입력이 함수 자체를 기술하면, 공격자는 특정 입력을 설계해 오라클의 응답을 예측하거나 조작할 수 있다. 논문은 이를 통해 ROM 기반 보안 증명의 한계를 명시적으로 제시한다.

셀룰러 오토마톤 분야에서는 Wolfram 규칙 30이 대표적인 예시로 제시된다. 규칙 30은 간단한 로컬 규칙에도 불구하고 복잡하고 예측 불가능한 전역 패턴을 만든다. 저자는 규칙 30의 업데이트 함수가 사실상 입력‑기술 함수와 동형임을 증명한다. 즉, 각 셀의 이웃 상태가 “입력”이 되고, 그 입력이 다음 상태를 결정하는 “프로그램” 역할을 수행한다. 따라서 규칙 30의 복잡성은 입력이 함수 동작을 정의한다는 메타적 특성에서 비롯된다고 해석한다.

마지막으로, 진정한 무작위성의 결정론적 본질에 대한 논의를 전개한다. 전통적으로 무작위성은 확률적 과정이나 물리적 현상에 의존하지만, 입력‑기술 함수는 완전 결정론적 시스템 안에서 무작위와 유사한 출력 분포를 생성한다. 이는 “결정론적 난수 생성기”가 이론적으로 완전한 무작위성을 구현할 수 있음을 시사한다. 논문은 이러한 관점을 바탕으로, 무작위성의 정의를 재고하고, 암호학·복잡도 이론·물리학 전반에 걸친 파급 효과를 제시한다.