즉시 탄성 없는 유체를 위한 열역학 기반 점성 모델

초록

본 논문은 Rajagopal 등(2020)에서 제시한 열역학적 프레임워크를 활용해 즉시 탄성을 갖지 않는 점탄성 유체의 레이트‑타입 모델을 구축한다. 구체적인 헬름홀츠 자유에너지와 소산률 함수를 선택하고, 스트레스 파워와 자유에너지 변화율 차이가 소산률과 일치하도록 제약을 두어 소산률을 최대화한다. incompressibility 등 추가 제약을 포함할 수 있다. 제안된 모델은 즉시 탄성 응답이 없으며, 물성 파라미터에 따라 Maxwell형 혹은 Kelvin‑Voigt형 거동을 재현한다. 크리프와 응력 이완 해석을 통해 모델의 유체‑유사 특성을 확인한다.

상세 분석

이 연구는 비탄성(instantaneous elasticity) 유체를 기술하기 위해 열역학적 원칙을 기반으로 한 점성‑탄성 모델을 체계적으로 도출한다는 점에서 의미가 크다. 먼저, Rajagopal 팀이 제시한 ‘시스템의 자유에너지와 소산률을 독립적인 함수로 가정하고, 두 함수 사이에 제약조건을 부과하여 소산률을 극대화한다’는 접근법을 그대로 차용한다. 구체적으로, 헬름홀츠 자유에너지 ψ를 변형률 텐서와 온도에 대한 함수로 정의하고, 소산률 𝔇를 스트레스 텐서와 변형률 속도 텐서의 내적 형태로 설정한다. 여기서 핵심 제약은 스트레스 파워 σ : D와 ψ의 시간미분 dψ/dt 사이의 차이가 바로 𝔇와 같아야 한다는 점이다. 이는 제1법칙(에너지 보존)과 제2법칙(엔트로피 증가) 모두를 만족시키는 조건이다.

논문은 추가적으로 ‘불압축성(incompressibility)’이라는 제약을 도입한다. 이는 변형률 텐서의 트레이스가 영이라는 수학적 조건으로, 라그랑주 승수를 통해 자유에너지와 소산률 식에 포함된다. 이러한 제약을 포함한 최적화 문제를 라그랑주 미분법으로 풀면, 응력 텐서는 자유에너지의 변형률에 대한 편미분과 소산률에 대한 변형률 속도의 편미분을 결합한 형태로 도출된다. 결과적으로 얻어지는 응력‑속도 관계는 전통적인 점성‑탄성 모델과는 달리 ‘즉시 탄성 항’이 사라진 것이 특징이다.

특정 형태의 ψ와 𝔇를 선택함에 있어 저자들은 선형 탄성 항을 배제하고, 오직 점성 계수 η와 ‘기억 효과’를 나타내는 시간 상수 λ을 포함한다. 이렇게 하면 모델은 Maxwell 방정식(σ + λ · σ̇ = η · D)과 유사한 형태를 갖게 되지만, 초기 순간에 σ가 0이므로 즉시 탄성 변형이 발생하지 않는다. 반대로 λ → 0 혹은 η → ∞ 등의 극한을 취하면 Kelvin‑Voigt형(σ = η · D + G · ε)과도 일치하게 된다.

크리프 시험에서는 일정한 응력 하에 변형률이 시간에 따라 지수적으로 증가하는 것을 확인했고, 응력 이완 시험에서는 초기 응력이 0에서 시작해 점차 감소하는 형태를 보였다. 이는 모델이 ‘유체‑같은’ 거동을 정확히 포착함을 의미한다. 또한, 파라미터 λ가 클수록 기억 효과가 길어져 이완 속도가 느려지고, η가 클수록 점성 저항이 커져 변형률 증가가 억제된다는 물리적 해석이 가능하다.

이와 같이 본 논문은 열역학적 일관성을 유지하면서도, 즉시 탄성을 배제한 새로운 점성‑탄성 모델을 제시하고, 이를 통해 기존 Maxwell·Kelvin‑Voigt 모델의 한계를 보완한다는 점에서 학술적·실용적 기여가 크다.