안정된 결혼 문제를 위한 지역 탐색 기법

초록

본 논문은 선호 리스트에 동점과 누락이 허용되는 안정된 결혼 문제에서, 매칭 인원을 최대화하는 안정 매칭을 찾기 위해 지역 탐색 알고리즘을 설계하고 실험적으로 검증한다. 제안 기법은 이웃 크기를 줄이고 이동 연산을 효율화함으로써 대규모 인스턴스에서도 최적에 근접한 해를 빠르게 도출한다.

상세 분석

이 연구는 기존 안정된 결혼 문제(SMP)의 확장 형태인 TIES‑INCOMPLETE SMP(TI‑SMP)를 대상으로 한다. TI‑SMP에서는 각 남·여가 상대방에 대한 선호 리스트에 동점(tie)을 포함할 수 있으며, 리스트에 나타나지 않은 상대와는 매칭이 금지된다. 이러한 제약은 매칭 공간을 급격히 확대하면서도 안정성 정의를 복잡하게 만든다. 논문은 “가능한 한 많은 사람을 결혼시키는” 최대 규모 안정 매칭(Maximum Cardinality Stable Matching, MCSM) 문제를 다루며, 이는 NP‑hard임을 기존 연구와 동일하게 확인한다.

저자들은 지역 탐색(local search) 프레임워크를 채택한다. 초기 해는 무작위 혹은 휴리스틱 기반으로 생성되며, 이웃 정의는 현재 매칭에서 하나의 부부를 해제하고, 해제된 남·여 각각을 다른 파트너와 재매칭하거나 싱글 상태로 남기는 방식으로 구성된다. 핵심 기여는 두 가지 최적화이다. 첫째, “blocking pair”와 “exposed single”을 이용해 불필요한 이웃을 사전 제거함으로써 탐색 공간을 실질적으로 축소한다. 둘째, 매칭 변경 시 발생할 수 있는 새로운 불안정성을 빠르게 판단하기 위해 선호 리스트에 대한 전처리된 인덱스를 활용한다. 이 과정에서 각 남·여에 대해 선호 순위와 동점 구간을 O(1) 시간에 조회할 수 있게 설계하였다.

알고리즘은 기본적인 Hill‑Climbing과 Simulated‑Annealing 전략을 혼합한다. 현재 매칭의 크기가 증가하거나 동일하면서 불안정도가 감소하는 경우를 우선적으로 선택하고, 지역 최적에 빠질 위험을 완화하기 위해 일정 확률로 열악한 이웃도 수용한다. 또한, “restart” 메커니즘을 도입해 탐색이 일정 횟수 이상 개선되지 않을 경우 초기화한다. 실험에서는 다양한 밀도와 동점 비율을 가진 무작위 인스턴스(수천 명 규모)와 실제 데이터(의료 매칭, 대학 입학 등)를 대상으로 수행했으며, 제안 기법은 기존 MILP 기반 혹은 완전 탐색 방법에 비해 10배 이상 빠른 시간 안에 최적 혹은 최적에 근접한 매칭을 찾아냈다. 특히, 5 000명 규모의 인스턴스에서도 평균 0.98 이상의 매칭 비율을 달성해 실용적 적용 가능성을 입증한다.

이 논문의 의의는 복잡한 선호 구조를 가진 대규모 매칭 문제에 대해, 전통적인 정확 알고리즘이 갖는 계산량 한계를 지역 탐색이라는 휴리스틱 접근으로 효과적으로 극복했다는 점이다. 또한, 이웃 축소와 빠른 안정성 검증 기법은 다른 변형 매칭 문제(예: 학교‑학생 매칭, 노동 시장 매칭)에도 확장 가능할 것으로 기대된다.