마코프 체인 MCMC 구현과 신뢰 구간 추정

본 Sweave 문서는 Flegal과 Jones(2010)의 “Implementing Markov chain Monte Carlo: Estimating with confidence”에서 제시한 여러 MCMC 신뢰 구간 추정 기법을 R 코드와 함께 재현하고, 각 단계별 결과를 시각화한다. 첫 번째 섹션에서는 배치 평균(BM)과 중첩 배치 평균(OBM) 방법을 이용해 Monte‑Carlo 표준 오차(MCSE)를 계산하는 `mcse` 함수를 정의한다. 입력값 `vals`는 MCMC 샘플, `bs`는 배치 크기(기본값은 √N), `meth`는 “BM” 혹은 “OBM” 선택이며, 배치 크기에 따라 비중첩 혹은 겹치는 배치를 구성한다. BM은 각 배치 평균의 분산을 `b * sum((Ys - muhat)^2)/(a-1)` 형태로 추정하고, OBM은 겹치는 배치를 이용해 `N * b * sum((Ys - muhat)^2)/(a-1)/a` 로 보다 효율적인 추정량을 제공한다. 두 번째 섹션에서는 정상 AR(1) 체인 X_{n+1}=ρX_n+ε_n (ε_n∼N(0,1))을 ρ=0.5와 ρ=0.95 두 경우에 대해 2000번 샘플링한다. `ar1`, `ar1.q`, `ar1.gen` 함수는 단일 전이, q‑step 전이, 그리고 p번 전이를 수행한다. 이후 `quant`와 `subsampling` 함수를 통해 1사분위·3사분위와 그 MCSE를 계산한다. 시각화 단계에서는 시계열 플롯, 자기상관 함수, 누적 평균 플롯을 그리고, BM·OBM 기반 MCSE를 이용한 신뢰 구간을 평균 플롯에 겹친다. ρ=0.95인 경우 배치 평균 MCSE가 크게 증가하고, OBM이 더 안정적인 구간을 제공함을 확인한다. 세 번째 섹션은 t‑분포(자유도 4) 데이터 증강을 이용한 Gibbs 샘플러 예제이다. 결합밀도 π(x,y)=4√(2π) y^{3/2} exp{-y(2+x²/2)} 로부터 X|Y∼N(0,1/Y), Y|X∼Gamma(5/2,2+x²/2) 를 순차적으로 샘플링한다. `t.gen` 함수는 초기값 (1,1)에서 시작해 p번 반복한다. 2000번 샘플 후 첫 번째 모멘트와 두 번째 모멘트의 누적 평균을 구하고, 각각에 대해 OBM 기반 MCSE와 재표본화(RB) 추정치를 비교한다. RB 추정치는 1/Y 형태로 변환해 분산을 감소시키는 효과가 있음을 그래프에서 확인한다. 네 번째 섹션은 베이지안 선형 회귀 모델의 주변밀도 추정이다. 관측값 Y_i|μ,θ∼N(μ,θ) (i=1,…,m, m≥3)와 비정보 사전분포 θ^{-1/2} 를 가정한다. 사후분포는 μ|θ∼N(ȳ,θ/m), θ|μ∼IG((m‑1)/2, m