그래프값 회귀 GoCART 방법론

초록

본 논문은 입력 변수 X에 따라 조건부 그래프 G(x)를 추정하는 “그래프값 회귀” 문제를 다룬다. 저자는 CART와 유사한 트리 구조를 X 공간에 구축하고, 각 리프에서 고차원 정규화 그래프 추정기를 적용하는 Go‑CART( Graph‑optimized CART) 알고리즘을 제안한다. 이론적으로는 dyadic partitioning tree를 이용해 위험 최소화에 대한 oracle inequality와 트리 파티션의 일관성을 증명하고, 실험에서는 기상 데이터에 적용해 변수 간 조건부 상호작용을 시각화한다.

상세 분석

Go‑CART은 전통적인 CART가 목표 변수의 평균을 추정하는 회귀 트리와 달리, 목표 변수 Y의 다변량 정규분포를 가정하고 그 공분산 행렬의 희소 구조, 즉 그래프 G(x)를 추정한다는 점에서 근본적인 차이를 보인다. 입력 공간 X는 연속형·범주형을 모두 포함할 수 있으며, 알고리즘은 먼저 dyadic partitioning을 이용해 X를 다차원 구간으로 재귀적으로 분할한다. 각 구간(리프)에서는 그래프 라플라시안 추정법, 혹은 그래프 라쏘(Glasso)와 같은 정규화된 최대우도 추정기를 적용해 조건부 정밀 행렬 Θ = Σ⁻¹을 얻고, 이를 통해 무향 그래프 G(x) = {(i,j): Θ_{ij}≠0}를 정의한다.

이론적 분석은 두 단계로 전개된다. 첫째, 위험 함수 R(T, Θ) = E