수열 벤트 함수와 야코브스탈 합

초록

본 논문은 소수 p와 정수 k에 대해 GF(p^{4k}) 위의 p진 함수 f(x)=Tr_{4k}(a x^{d}+b x^{2}) (d=p^{3k}+p^{2k}-p^{k}+1)를 연구한다. 함수의 지수합 S_f(0)를 분석한 결과, a^{p^{k}(p^{k}+1)}≠b^{p^{k}+1} 혹은 a^{2}=b^{d}(b≠0)인 경우 세 값(−p^{2k}, p^{2k}, 3p^{2k})만을 취함을 보였다. 나머지 경우에는 Jacobsthal 합 of order p^{k}+1 로 표현되며, 그 값의 범위는 타원곡선의 Hasse 경계에 의해 |H|≤2p^{k/2}(p^{k}+1) 로 제한된다. 또한 p^{2k}+1 차 순환 부분군 U에서 다항식 L(X) 의 영점 개수를 이용해 S_f(0)=p^{2k}(2N(a,b)−1) 로 나타냈다. 값의 정확한 분포는 아직 미해결 문제로 남는다.

상세 분석

논문은 먼저 p가 홀수 소수이고 k≥1일 때 n=4k라 두고, GF(p^{n}) 위의 트레이스 함수를 이용해 f(x)=Tr_{n}(a x^{d}+b x^{2}) 를 정의한다. 여기서 지수 d는 p^{3k}+p^{2k}−p^{k}+1 로, gcd(d,p^{n}−1)=2이며 Niho 형태와 동형이다. 함수의 휘시 변환 계수 S_f(y)=∑{x∈GF(p^{n})} ω^{f(x)−Tr_n(yx)} 를 연구하되, 특히 y=0인 경우 S_f(0) 를 구한다. 이를 위해 먼저 GF(p^{2k})* 의 차수 p^{k}+1 사이클로토믹 클래스 C_t 를 정의하고, (i,j) 라는 사이클로토믹 수를 계산한다. Lemma 1에서 (i,j)=1 (i≠j, ij≠0), (0,0)=p^{k}−2, 그 외는 0임을 직접 증명한다. 이 결과는 이후 Jacobsthal 합 H{p^{k}+1}(a)=∑{x∈GF(p^{2k})} η(x^{p^{k}+1}+a x) 의 추정에 핵심이 된다. Theorem 2에서는 H{p^{k}+1}(a) 의 절대값을 |H|≤2 p^{k/2}(p^{k}+1) 로 제한하고, 이는 타원곡선 N 점수와 Hasse 정리를 이용한 것이다. 구체적으로 I_{p^{k}+1}(a) 를 계산하고, I_{2(p^{k}+1)}(a)=I_{p^{k}+1}(a)+H_{p^{k}+1}(a) 를 이용해 N−p^{k}=H_{p^{k}+1}(a) 를 얻는다. 이후 Theorem 3에서 S_f(0)=p^{2k}(2N(a,b)−1) 로 표현한다. 여기서 N(a,b) 는 차수 p^{2k}+1 인 순환 부분군 U⊂GF(p^{n})* 에서 다항식 L(X)=b^{p^{2k}} X + a X^{p^{k}} + b X^{p^{2k}} + a^{p^{2k}} X^{p^{3k}} 의 영점 개수를 의미한다. Corollary 1을 통해 (a,b) 를 (a h^{d}, b h^{2}) 로 변환해도 N은 불변임을 보이며, 이는 b가 제곱인지 비제곱인지에 따라 두 경우만 고려하면 됨을 의미한다. 마지막으로 두 주요 경우를 나눈다. (i) a^{p^{k}(p^{k}+1)}≠b^{p^{k}+1} 혹은 a^{2}=b^{d}(b≠0)인 경우, Proposition 1에 의해 L(X) 의 영점 수는 0,2,4개이며, 따라서 S_f(0) 은 −p^{2k}, p^{2k}, 3p^{2k} 중 하나가 된다. (ii) a^{p^{k}(p^{k}+1)}=b^{p^{k}+1} 이면서 a^{2}≠b^{d}인 경우, Proposition 2에서 N(a,b)를 Jacobsthal 합과 연결시켜 표현하고, 앞서 얻은 H의 경계를 적용한다. 결국 남은 문제는 Jacobsthal 합의 정확한 값과 분포를 구하는 것이며, 이는 현재까지 알려지지 않은 난제이다.