강한 다분할 토너먼트에서 두 개의 호를 포함하는 모든 길이의 사이클 존재 증명

초록

본 논문은 정점이 c(≥4)개의 파트ite 집합으로 나뉘는 강한 다분할 토너먼트 D에서, 두 개의 호 e₁, e₂가 각각 길이 3부터 c까지 모든 정수 m에 대해 m-사이클에 포함될 수 있음을 보인다. 이는 Volkmann이 제시한 “세 개의 호” 추측의 약화된 형태를 증명한 결과이다.

상세 분석

다분할 토너먼트는 완전 c-파트ite 그래프에 방향을 부여한 것으로, 각 파트ite 집합 사이의 모든 정점 쌍에 정확히 하나의 호가 존재한다. 강하게 연결된 경우, 모든 정점 쌍 사이에 방향 경로가 존재한다는 특성을 갖는다. 기존 연구에서는 강한 토너먼트가 최소 세 개의 판시클(모든 가능한 길이의 사이클에 포함되는) 호를 가진다는 결과가 알려져 있었으며, Volkmann은 이를 다분할 토너먼트로 일반화하고, “각 길이 m∈{3,…,c}에 대해 하나의 호가 m-사이클에 포함된다”는 정리를 제시했다. 또한, 세 개의 호가 동시에 이 성질을 만족한다는 강한 추측을 제안하였다.

본 논문은 그 추측을 완전히 증명하지는 못하지만, 두 개의 호에 대해서는 성립함을 보인다. 증명은 귀납적 구조를 이용한다. 기본 단계에서는 c≥4인 경우 3-사이클이 존재함을 이용해, 그 사이클의 두 호를 선택하면 m=3에 대해 요구조건을 만족한다. 귀납 가정으로, 현재 어떤 m(3≤m<c)까지 길이별 사이클이 존재하고, 각각의 사이클이 포함하는 정점 집합이 V(C₃)⊂V(C₄)⊂…⊂V(C_m) 형태로 중첩된다고 가정한다.

그 다음 단계에서는 두 가지 방법으로 m+1 길이의 사이클을 구성한다. 첫 번째는 기존 m-사이클에 아직 사용되지 않은 파트ite 집합의 정점 w를 삽입해, w가 사이클 상의 두 연속 정점 u⁻, u⁺ 사이에 들어가도록 함으로써 길이 m+1 사이클을 만든다. 이때 w는 사이클에 나타나지 않은 파트ite 집합에 속하므로, w→u⁺와 u⁻→w가 모두 존재한다는 점을 이용한다. 두 번째 방법은 w와 기존 사이클의 정점들 사이에 새로운 호 f₁, f₂를 만들고, 이를 이용해 길이 3부터 m+1까지 모든 길이의 사이클에 f₁, f₂가 포함되도록 구성한다. 특히, u₁u₂가 3-사이클에 포함된다는 사실을 활용해, w와 u₁, u₂ 사이에 새로운 3-사이클과 4-사이클을 형성한다.

만약 위와 같은 w가 존재하지 않을 경우, 즉 사이클에 포함되지 않은 정점 집합 S가 두 부분 S₁, S₂로 나뉘어 S₂→V(C_m)→S₁ 형태가 된다. 이때 S₁이 비어 있지 않다면 강한 연결성을 이용해 S₁에서 C_m으로 가는 최단 경로 P를 선택하고, 경로상의 정점들을 이용해 새로운 호 f₁, f₂를 만든다. 경로 길이 q에 따라 f₁, f₂는 길이 3부터 m+q−1까지의 사이클에 포함될 수 있음을 보인다. 결국, 어느 경우든 두 개의 호가 요구된 모든 길이의 사이클에 포함될 수 있음을 보인다.

핵심적인 아이디어는 “아직 사용되지 않은 파트ite 집합의 정점을 삽입하거나, 강한 연결성에 의해 존재하는 경로를 활용해 새로운 호를 만들면, 기존 사이클 구조를 유지하면서 길이를 하나씩 늘릴 수 있다”는 점이다. 이 과정에서 정점 집합의 포함 관계 V(C₃)⊂V(C₄)⊂…가 유지되므로, 각 호에 대해 연속적인 사이클 체인이 형성된다. 결과적으로, 강한 c-파트ite 토너먼트(c>3)에서는 두 개의 호가 길이 3부터 c까지 모든 사이클에 동시에 포함될 수 있음을 증명한다.