효과적 용량과 닫힌 집합의 무작위성

초록

본 논문은 {0,1}* 위의 비공집합 닫힌 집합들의 공간에 대해, 계산 가능한 측도와 용량 사이의 관계를 연구한다. 모든 계산 가능한 용량이 어떤 계산 가능한 측도로부터 유도될 수 있음을 보이며, 무작위 닫힌 집합의 용량이 0인지 양수인지를 판별하는 조건을 제시한다. 또한 특정 측도에 대해 레베그 측도는 0이지만 용량은 양수인 효과적으로 닫힌 집합을 구성한다.

상세 분석

이 논문은 이산 이진 문자열 공간 2^ω 를 확장한, 비공집합 닫힌 집합들의 집합 𝒞를 대상으로 한다. 𝒞에 대한 자연스러운 토폴로지는 기본 열린 집합을 “모든 문자열 σ가 포함된 닫힌 집합들의 집합”으로 정의함으로써 얻어진다. 저자는 먼저 임의의 계산 가능한 확률 측도 μ on 2^ω 를 𝒞에 끌어올려, μ̂(Q)=μ({X∈2^ω : X와 Q가 교차}) 로 정의된 용량 T(Q)를 만든다. 여기서 Q⊆𝒞는 효과적으로 닫힌 집합이며, T는 단조성, 연속성, 그리고 Choquet 용량의 세 가지 공리(단조성, 외부 연속성, 그리고 가산 교차성)를 만족한다.

핵심 정리는 “계산 가능한 용량은 반드시 어떤 계산 가능한 측도로부터 유도될 수 있다”는 효과적 Choquet 용량 정리이다. 이를 위해 저자는 용량 T에 대한 마르코프 커널을 구성하고, 이를 이용해 μ를 역으로 정의한다. 구체적으로, 각 이진 문자열 σ에 대해 T(