자유군에서 이중 꼬임 동치류를 구분하는 새로운 잔여 조건과 그 일반성

본 논문은 자유군에서 이중 꼬임(conjugacy) 동치류 문제를 새로운 관점에서 접근한다. 서론에서는 Nielsen 동시점 이론과 고정점 이론에서 동치류 구분이 왜 중요한지를 설명하고, 기존의 싱글 꼬임(ϕ가 자동사상, ψ=id) 경우와 달리 이중 꼬임(두 임의의 동형사상 ϕ, ψ)에서는 동등자 \(Eq(\varphi,\psi)\)를 직접 계산하는 것이 매우 어려운 문제임을 지적한다. 첫 번째 기술적 결과는 Lemma 1이다. 여기서는 자유군에 새로운 자유 생성자 \(z\)를 추가해 확장군 \(\widehat G=G*\langle z\rangle\), \(\widehat H=H*\langle z\rangle\)를 만든 뒤, \(\widehat\varphi_u\)와 \(\widehat\psi\)를 정의한다. 이 확장 사상들 사이에 \(gzg^{-1}\in Eq(\widehat\varphi_v u,\widehat\psi)\)가 존재하면 \(u\)와 \(v\)가 같은 이중 꼬임 동치류에 속한다는 등가성을 보인다. 그러나 실제 계산에서는 여전히 동등자를 구해야 하므로 실용성이 떨어진다. 이를 해결하기 위해 ‘잔여(remnant)’라는 combinatorial 개념을 도입한다. 정의 2에 따르면, 동형사상 \(\varphi:G\to H\)가 잔여를 가진다는 것은 각 생성자 \(g_i\)에 대해 \(\varphi(g_i)\) 안에 “취소되지 않는” 비자명 부분단어가 존재함을 의미한다. 이 부분단어는 \(\varphi(g_j)^{\pm1}\) 혹은 \(\psi(g_j)^{\pm1}\)와 곱해질 때 전혀 소거되지 않아야 한다(단, \(j=i\)이고 지수가 \(-1\)인 경우는 허용). Lemma 3은 \(\varphi*\psi:G*G\to H\)가 잔여를 가지면 \(\varphi(G)\cap\psi(G)=\{1\}\)가 되고, 따라서 \(Eq(\varphi,\psi)=\{1\}\)임을 증명한다. 이 결과와 Lemma 1을 결합하면, \(\widehat\varphi_v u*\widehat\psi\)가 잔여를 가질 경우 \(u\)와 \(v\)는 서로 다른 이중 꼬임 동치류에 속한다는 충분조건을 얻는다. Theorem 5에서는 구체적인 조건을 제시한다. \(\varphi_v*\psi\)가 잔여를 가지고, 각 생성자에 대한 잔여 단어가 식 (1)에서 제시된 14가지 형태의 곱에서도 완전히 소거되지 않으면 \(