미분가능 함수와 집합론적 강제법: ℵ₁ 밀집 집합의 차별화된 등위

본 논문은 두 개의 서로 연관된 문제를 다룬다. 첫 번째는 ℵ₁×ℵ₁ 직사각형을 가산개의 매끄러운 곡선(즉, Cⁿ 함수의 그래프)으로 덮을 수 있는가 하는 질문이며, 두 번째는 ℵ₁‑밀집 실수 집합 사이에 미분가능한 순서보존 전단사(f∈F)가 존재하는가 하는 문제이다. 이를 위해 저자는 ‘n‑small’이라는 새로운 개념을 도입한다. 정의에 따르면, 집합 E⊆ℝ이 n‑small이면 Cⁿ 함수 f_i (i∈ω)가 존재해 E²⊆⋃_i (graph f_i ∪ graph f_i⁻¹)를 만족한다. n=0은 연속, n=∞는 무한 차수까지의 매끄러움을 의미한다. 첫 번째 섹션에서는 기존 Sierpiński의 결과를 재검토한다. Sierpiński는 ZFC만으로도 모든 ℵ₁‑크기의 집합 E에 대해 연속 함수들로 덮을 수 있음을 보였지만, 연속성 이상의 매끄러움을 요구하면 추가 가정이 필요하다. Theorem 1.2는 ZFC만으로도 ℵ₁‑크기의 E가 C^∞‑small임을 증명한다. 증명은 Cantor 집합 H 위에 ‘평탄’ 함수 f_i를 정의하고, 이를 복잡한 인코딩(블록 구조와 ϕ 함수)으로 가공해 모든 가산개의 함수값을 포괄하도록 만든다. Lemma 2.1‑2.4를 통해 이러한 인코딩이 가능한 집합 T⊂H를 구성하고, T를 이용해 원하는 E를 얻는다. Theorem 1.3은 이미 알려진 결과들을 정리한다. (1) MA(ℵ₁) ⇒ 모든 ℵ₁‑집합이 0‑small; (2) PFA ⇒ 모든 ℵ₁‑집합이 1‑small; (3) MA(ℵ₁)만으로는 1‑small을 보장하지 못한다; (4) ZFC에서는 2‑small이 되지 않는 ℵ₁‑집합이 존재한다. 여기서는 기존 문헌(특히