스케일프리 네트워크의 랜덤 불리언 동역학 평균장과 비평균장 행동

초록

본 논문은 스케일프리 네트워크 위에서 AND와 XOR 불리언 함수를 확률적으로 할당해 동기식 업데이트를 수행하는 두 모델을 제시한다. 자기 자신을 입력으로 포함하는 자기조절(self‑regulation) 여부에 따라 1의 밀도와 해밍 거리의 전개가 크게 달라짐을 수치 시뮬레이션과 평균장(annealed) 근사로 분석한다. 자기조절이 없을 때는 평균장 예측과 시뮬레이션이 일치하지만, 자기조절이 존재하면 특히 작은 p(=XOR 비율) 구간에서 평균장이 실패한다는 점을 강조한다.

상세 분석

이 연구는 스케일프리 토폴로지를 갖는 네트워크에 두 종류의 단순화된 랜덤 불리언 동역학을 적용한다. 각 노드는 입력으로 연결된 이웃들의 상태를 받아 AND(확률 1‑p) 혹은 XOR(확률 p) 논리 연산을 수행한다. 중요한 변수는 p, 즉 XOR 함수가 선택되는 비율이며, 이는 시스템의 비선형성 및 혼돈 정도를 조절한다. 두 모델은 (1) 자기조절이 없는 경우와 (2) 각 노드가 자신의 이전 상태를 입력으로 포함하는 경우로 구분된다. 자기조절이 없을 때는 각 노드의 입력이 순수히 이웃에 의해 결정되므로, 평균장 근사에서 각 입력을 독립적인 랜덤 변수로 가정해도 실제 동역학과 거의 일치한다. 이는 평균장 식 M(t+1)= (1‑p)M(t)^K + p