다중 원뿔 위의 Sobolev 공간

초록

이 논문은 여러 개의 원뿔 형태 영역에 정의된 Sobolev 공간들의 구조를 조사한다. 매끄러운 함수의 밀도, 보간성, 그리고 전체 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$와의 확장·제한 연산을 중심으로, Poincaré 부등식과 Hardy 부등식의 조합을 이용해 핵심 결과를 도출한다.

상세 분석

논문은 먼저 $n\ge 2$ 차원에서 원점에 공통된 $m$개의 직선형 원뿔 $C_i$($i=1,\dots,m$)를 고려하고, 이들의 합집합 $C=\bigcup_{i=1}^m C_i$ 위에 Sobolev 공간 $W^{k,p}(C)$를 정의한다. 여기서 $k\in\mathbb{N}$, $1\le p<\infty$이며, 함수는 각 원뿔 내부에서 약한 미분이 존재하도록 요구한다. 주요 질문은 두 가지이다. 첫째, $C^\infty_c(C\setminus{0})$와 같은 매끄러운 콤팩트 지지 함수가 $W^{k,p}(C)$ 안에서 조밀한가? 둘째, $W^{k,p}(C)$와 전역 Sobolev 공간 $W^{k,p}(\mathbb{R}^n)$ 사이에 연장·제한 연산자가 연속적인 선형 사상으로 존재하는가?

첫 번째 문제에 대해 저자는 원뿔의 각 면이 서로 다른 방향을 가짐을 이용해, 원점 근처에서의 특이성을 제어하는 Hardy 부등식
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