동형성 부재 상황에서 ±1 함수가 파리티에 근접할 수 있는 한계

초록

동형사상이 존재하지 않는 군 G에 대해, 평균이 0인 함수 f:G→{±1}가 동형성 조건 f(xy)=f(x)f(y) 를 만족할 확률은 가장 작은 비자명 불변표현 차원 d에 의해 ½(1+1/√d) 로 상한이 잡힌다. 교대군 Aₙ의 경우 d=n‑1 이며, S_{n‑2} 부분군의 파리티 함수를 확장한 예시를 통해 하한 ½(1+1/ C(n,2)) 를 얻는다. 따라서 Aₙ에서의 “동형성에 가까운” 정도는 O(n^{-1/2}) 와 Ω(n^{-2})  사이에 놓인다.

상세 분석

이 논문은 “동형사상이 존재하지 않는 군 G에 대해, {±1}값을 갖는 함수가 얼마나 파리티(즉, 군 동형사상)와 비슷하게 행동할 수 있는가?”라는 질문을 정량적으로 다룬다. 핵심 아이디어는 군의 표준적인 푸리에 분석을 이용해, 함수 f의 기대값이 0일 때 f(xy)와 f(x)f(y) 사이의 상관을 불변표현의 차원과 연결시키는 것이다. 구체적으로, 군 G의 모든 복소수값 함수는 irreducible representation(불변표현)들의 직교 기저로 전개될 수 있다. 여기서 가장 작은 비자명 irreducible representation의 차원을 d라고 하면, Parseval 정리와 Cauchy‑Schwarz 부등식을 조합해

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