회전대칭 3차 부울 함수의 비선형성은 가중치와 동일함을 증명

본 논문은 회전대칭 Boolean 함수(RSBF)의 한 종류인 3차 다항식 \(F_n^3\)에 대한 비선형성(conjecture) 문제를 전면적으로 해결한다. 서론에서는 RSBF가 암호학, 특히 메시지 다이제스트 알고리즘(MD4, MD5) 구현에 효율성을 제공함을 언급하고, 2차 RSBF는 선형·차분 공격에 취약하므로 고차 RSBF의 비선형성 확보가 필요함을 제시한다. Cusick과 Stănică가 제안한 “비선형성은 가중치와 동일하다”는 추측을 증명하기 위해, 저자들은 함수 \(F_n^3\)를 네 개의 보조 함수 \(f_n^{0},f_n^{1},f_n^{2},f_n^{3}\) 로 분해한다. 각 보조 함수는 기본 3차 항 \(t_n=\sum_{i=0}^{n-3}x_i x_{i+1}x_{i+2}\)에 추가적인 2차·1차 항을 더한 형태이며, 이들 사이의 관계식(식 (1))을 통해 전체 푸리에 변환을 네 개의 부분 푸리에 변환의 합으로 나타낸다. 다음으로, Lemma 2.1은 입력 벡터 \(c\)의 마지막 비트가 0일 때 각 부분 함수의 푸리에 계수 \(c_{f_n^i}(c)\) 를 차수 \(n-2\)와 \(n-3\)의 계수와 선형 결합하는 식으로 전개한다. 구체적으로, \