삼각형 안에 점 놓기

초록

직각삼각형 격자에서 가로·세로 길이가 n인 경우, 각 행·열·빗변과 평행한 대각선에 점을 최대 한 개씩만 놓을 수 있도록 배치했을 때 가능한 점의 최대 개수 N(n)은 ⌊(2n+1)/3⌋임을 선형계획법을 이용해 새롭게 증명한다.

상세 분석

이 논문은 기존에 조합론적 방법이나 그래프 이론을 통해 증명된 “N(n)=⌊(2n+1)/3⌋”이라는 결과에 대해, 전혀 다른 관점인 선형계획법(linear programming, LP)을 적용함으로써 새로운 증명을 제시한다. 먼저 문제를 0‑1 정수계획 모델로 정형화한다. 격자 안의 각 셀을 변수 x_{i,j}∈{0,1} 로 두고, x_{i,j}=1이면 그 셀에 점을 놓는다는 의미이다. 제약조건은 세 종류가 있다. 첫째, 같은 행에 두 점이 놓이지 않도록 ∑{j} x{i,j} ≤ 1 (i는 행 인덱스). 둘째, 같은 열에 두 점이 놓이지 않도록 ∑{i} x{i,j} ≤ 1 (j는 열 인덱스). 셋째, 긴 변(빗변)과 평행한 대각선마다 최대 한 점만 놓일 수 있도록, 대각선 번호 d에 대해 ∑{(i,j)∈D_d} x{i,j} ≤ 1 이다. 여기서 D_d는 대각선 d에 속하는 셀들의 집합이다. 목표함수는 점의 총 개수인 ∑{i,j} x{i,j} 를 최대화하는 것이다.

정수계획 문제는 일반적으로 NP‑hard이지만, 이 경우에는 특수한 구조 덕분에 LP 완화(relaxation) 후에도 최적해가 정수값을 갖는다. 논문은 먼저 제약행렬이 전형적인 “Totally Unimodular”(전완전정수) 성질을 만족함을 보인다. 구체적으로, 각 제약은 0, 1, -1 로만 구성되고, 각 행마다 1이 두 개 이하인 특성을 이용해 행렬이 TU임을 증명한다. TU 행렬을 갖는 경우, LP의 최적해는 항상 정수해가 되므로 정수계획 문제를 그대로 LP로 풀어도 된다.

그 다음, 듀얼(dual) 문제를 구성한다. 듀얼 변수는 각각 행, 열, 대각선 제약에 대응한다. 듀얼 목표함수는 행·열·대각선 변수의 가중합을 최소화하는 형태이며, 제약은 각 셀 (i,j)에 대해 해당 행, 열, 대각선 변수의 합이 1 이상이어야 한다는 식으로 전개된다. 이 듀얼 문제는 “커버링” 문제와 동형이며, 최소 커버링 값이 바로 원 문제의 최대 배치 수와 일치한다는 강한 이중성(strong duality) 원리를 적용한다.

듀얼을 해석하면, 행·열·대각선 각각에 대해 “가격”을 매길 수 있고, 각 셀은 그 세 가격의 합이 1을 초과하지 않도록 제한된다. 최적 가격 배분을 찾는 과정에서, n을 3으로 나눈 나머지에 따라 가격을 1/3, 2/3, 1 등으로 배정하면, 목표값이 정확히 ⌊(2n+1)/3⌋ 가 된다. 특히, n=3k, 3k+1, 3k+2 경우를 각각 별도로 분석하여, 가격 배분이 어떻게 달라지는지를 상세히 보여준다.

마지막으로, 원 문제의 최적해 구성을 구체적인 “패턴”으로 제시한다. 예를 들어, n=3k일 때는 (i, 2i mod n) 형태의 점 배치를 사용하고, n=3k+1, 3k+2 경우에도 유사한 사잇값을 조정한 배치를 통해 목표값을 달성한다. 이러한 구성은 듀얼 해와 일치함을 확인함으로써, LP 기반 증명이 완전함을 검증한다.

전체적으로, 논문은 전통적인 조합론적 증명과는 달리, 선형계획 이론, 전완전정수 행렬, 듀얼성 등을 활용해 문제를 새로운 시각으로 접근한다는 점에서 학문적 가치를 지닌다. 또한, 이 방법론은 유사한 격자 배치 문제나 라틴 사각형, 마방진 등에도 확장 가능성을 시사한다.