무방향 그래프의 상향 지향 색채수와 그래프곱의 지향 색채 연구

초록

본 논문은 무방향 그래프 G의 모든 방향화에 대해 공통으로 사상될 수 있는 최소 크기의 지향 그래프를 상향 지향 색채수(upper oriented chromatic number)라 정의한다. 이 파라미터의 기본 성질을 제시하고, 카테시안, 강, 직접, 사전곱 등 네 종류의 그래프곱에 대한 일반적인 상한을 도출한다. 특히 경로들의 곱에 대해 구체적인 값을 계산하여 기존 연구와 연결한다.

상세 분석

논문은 먼저 기존의 지향 색채수(oriented chromatic number) 개념을 복습하고, 무방향 그래프 G에 대한 “최대” 지향 색채수, 즉 모든 가능한 방향화 (\vec G)가 사상될 수 있는 최소 크기의 지향 그래프 (\vec U)를 정의한다. 이를 (\chi_o^{+}(G))라 표기하며, 전통적인 (\chi_o(G))와는 달리 방향화 선택에 대한 최적화가 아니라 모든 방향화에 대한 보편적 상한을 의미한다.

이 정의를 바탕으로 저자는 몇 가지 기본적인 불평등을 증명한다. 첫째, (\chi_o(G)\le \chi_o^{+}(G)\le |V(G)|)가 자명하게 성립한다. 둘째, 트리와 같은 특수 그래프에 대해 (\chi_o^{+}(T)=\Delta(T)+1) (Δ는 최대 차)임을 보이며, 이는 기존 결과와 일치한다. 셋째, 완전 그래프 (K_n)에 대해서는 (\chi_o^{+}(K_n)=n)임을 확인한다.

주요 기여는 그래프곱에 대한 상한식이다. 카테시안 곱 (G\square H)에 대해 (\chi_o^{+}(G\square H)\le \chi_o^{+}(G)\cdot \chi_o^{+}(H))를 증명하고, 강곱 (G\boxtimes H)에 대해서는 (\chi_o^{+}(G\boxtimes H)\le \chi_o^{+}(G)\cdot \chi_o^{+}(H))가 성립함을 보인다. 직접곱 (G\times H)와 사전곱 (G