이진 단어의 유한 아벨 복합도와 아벨 거듭제곱 회피

초록

본 논문은 유한 아벨 복합도를 갖는 이진 무한 단어에서 아벨 $k$-거듭제곱이 얼마나 자주 나타나는지를 조사한다. 특히 균등 재발성(Uniformly recurrent)인 경우에도 아벨 제곱으로 시작하지 않는 접미사가 무한히 존재함을 보이며, 기존의 스투르미안 및 겹침 회피 단어와의 관계를 분석한다. 또한 형태소 사상(morphism)이 아벨 복합도에 미치는 영향을 연구하고, 아벨 제곱 회피와 관련된 두 유명한 열린 문제의 동등성을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 아벨 복합도(Abelian complexity)의 정의와 그 중요성을 재조명한다. 아벨 복합도는 길이 $n$인 모든 구간에 대해 그 구간에 나타나는 문자들의 다중집합(아벨 형태)의 종류 수를 세는 함수이며, 무한 단어의 구조적 복잡성을 측정하는 도구로 최근 활발히 연구되고 있다. 저자들은 이전 연구에서 van der Waerden 정리를 이용해 “아벨 $k$-거듭제곱을 회피하는 무한 단어는 아벨 복합도가 무한해야 한다”는 결과를 얻었으며, 이는 아벨 거듭제곱 회피와 복합도 사이의 깊은 연관성을 시사한다.

이러한 배경에서 본 연구는 두 가지 핵심 질문을 제기한다. 첫째, 아벨 복합도가 유한한 단어에서 아벨 $k$-거듭제곱은 얼마나 자주 나타나는가? 둘째, 균등 재발성을 만족하는 단어가 반드시 아벨 $k$-거듭제곱으로 시작해야 하는가? 스투르미안 단어와 같은 전통적인 예시에서는 “예”가 성립하지만, 저자들은 이를 일반화할 수 없음을 보인다.

구체적으로, 저자들은 이진 알파벳 ${0,1}$ 위에서 균등 재발성을 유지하면서도 아벨 복합도가 유한한 새로운 무한 단어를 구성한다. 이 구성은 두 단계의 교체 규칙을 이용한 교체 시스템으로, 각 단계에서 발생하는 구간들의 아벨 형태를 정밀히 제어한다. 결과적으로, 해당 단어는 무한히 많은 접미사를 가지며, 각 접미사는 아벨 제곱(특히 아벨 제곱, 즉 $k=2$)으로 시작하지 않는다. 이는 “모든 균등 재발성 단어는 아벨 제곱으로 시작한다”는 가설을 반증하는 강력한 반례가 된다.

또한, 저자들은 모든 무한 이진 겹침 회피(overlap‑free) 단어의 시프트 궤도 폐쇄(shift orbit closure) 안에, 시작 부분이 아벨 세제곱(Abelian cube, $k=3$)을 회피하는 단어가 존재함을 증명한다. 이는 겹침 회피와 아벨 복합도 사이의 미묘한 관계를 드러내며, 겹침 회피 단어가 자동적으로 높은 차수의 아벨 거듭제곱을 회피한다는 직관을 정교하게 보완한다.

형태소 사상에 관한 부분에서는, 유한 아벨 복합도를 가진 단어에 임의의 비균등 형태소 사상을 적용했을 때도 결과 단어의 아벨 복합도가 유한하게 유지된다는 일반적인 정리를 제시한다. 이는 복합도 보존성에 대한 새로운 관점을 제공하며, 특히 자동기계(automaton)와 교체 시스템을 통한 단어 생성에서 복합도 제어가 가능함을 의미한다.

마지막으로, 저자들은 “이진 무한 단어가 아벨 제곱을 완전히 회피할 수 있는가?”라는 오래된 열린 문제를 Pirillo‑Varricchio와 Halbeisen‑Hungerbühler가 제시한 두 문제와 동등함을 보인다. 이 동등성은 기존 문제들의 난이도를 재평가하게 만들며, 향후 연구가 교차 분야(조합론, 형식 언어 이론, 수론)에서 진행될 여지를 크게 확장한다. 전체적으로, 논문은 아벨 복합도와 아벨 거듭제곱 회피 사이의 복합적인 상호작용을 새로운 예와 정리를 통해 심도 있게 탐구하며, 해당 분야의 이론적 토대를 한층 강화한다.