최적 특성을 가진 의사난수 발생기의 가능성

초록

논문은 m시퀀스의 비선형 필터가 최대 주기와 최대 선형 복잡도를 가질 확률이 레지스터 길이 L이 증가함에 따라 1에 가까워진다는 것을 증명한다

상세 분석

본 연구는 L단계 선형 피드백 시프트 레지스터(LFSR)와 원시 다항식으로 구성된 m시퀀스에 비선형 필터를 적용했을 때 얻어지는 출력 시퀀스의 구조적 특성을 수학적으로 분석한다 먼저 LFSR 출력 a_n을 GF(2^L)상의 원소 α의 거듭제곱 형태로 표현하고 비선형 필터 F를 k차 비선형 함수로 정의한다 그런 다음 필터 출력 z_n을 각 코셋 E_i에 대응하는 특성 시퀀스 S_Ei_n의 가중합 형태로 전개한다 여기서 각 코셋의 차수 r_i는 코셋의 원소 개수를 의미하며 C_i는 GF(2^{r_i})상의 상수 계수이다 중요한 사실은 모든 C_i가 해당 필드 내에 존재한다는 점이다 즉 C_i가 0이 아니면 해당 코셋의 특성 시퀀스가 출력의 선형 복잡도에 기여한다 반면 C_i가 0이면 그 코셋은 복잡도에 영향을 주지 않는다 또한 전체 출력 시퀀스의 주기는 각 특성 시퀀스 주기의 최소공배수이며 이 주기들은 2^L−1의 약수 형태를 가진다 이러한 성질을 이용해 최적 특성을 갖는 필터의 개수를 계산한다 nf_k는 전체 k차 비선형 필터의 수 nf_m은 선형 복잡도가 최대인 필터의 수이다 확률 P_r은 nf_m을 nf_k로 나눈 값으로 표현된다 식을 전개하면 P_r은 코셋 수 N과 각 차수 r_i에 의존하는 곱 형태가 된다 L이 소수인 경우 모든 r_i가 L과 동일해 식이 단순화된다 결과적으로 P_r은 (2^L−1)^N 과 (2^{Lk}−1) 형태의 비율로 나타난다 여기서 Lk는 코셋의 차수에 해당하는 지수이다 대수적 근사를 적용하면 P_r은 e^{−N_k/2^L} 형태로 하한을 갖는다 N_k는 k차 비선형 함수의 가능한 코셋 수이며 k≈L/2이면 N_k≈2^{L−1}가 된다 따라서 P_r은 e^{−1/2^L}에 수렴하고 L이 커질수록 거의 1에 가까워진다 즉 L이 충분히 크면 임의로 선택한 비선형 필터가 거의 확실히 최대 주기와 최대 선형 복잡도를 동시에 만족한다 이론적 결과는 실제 통신 시스템에서 L=25와 같은 실용적인 값에 대해서도 P_r이 0.998을 초과함을 보여준다 따라서 비선형 m시퀀스 필터는 구현이 간단하면서도 최적 난수 특성을 가질 확률이 매우 높다는 결론을 얻는다