함수 자기회귀 모델에서 커널 기반 혁신 밀도 추정기의 강한 일관성과 정규성

초록

본 논문은 함수 자기회귀(FAR) 모델의 잔차를 이용한 커널 밀도 추정기를 제안하고, 평균 예측 오차와의 연계 하에 강한 균일 일관성 및 점근적 정규성을 입증한다. 충분조건을 제시해 실무 적용 가능성을 높였다.

상세 분석

논문은 먼저 함수 자기회귀(FAR) 모델 (X_t = \Phi(X_{t-1}) + \varepsilon_t) 를 설정하고, 여기서 (\Phi) 는 Hilbert 공간상의 비선형 연산자, (\varepsilon_t) 는 i.i.d. 혁신(노이즈)이며 그 밀도 (f) 를 추정하고자 한다. 기존 연구는 주로 (\Phi) 를 직접 추정하거나, 잔차 대신 관측값 자체의 밀도를 추정하는 데 초점을 맞추었지만, 혁신 밀도는 모델 진단과 예측 구간 설정에 핵심적인 역할을 한다는 점을 강조한다.

저자는 관측된 시계열 ({X_t}_{t=1}^n) 로부터 (\widehat{\Phi}_n) 라는 비파라메트릭 회귀 추정기를 구축하고, 이를 이용해 잔차 (\widehat{\varepsilon}_t = X_t - \widehat{\Phi}n(X{t-1})) 를 계산한다. 이후 표준 커널 밀도 추정식
\