무한 경매에서의 합리적 상승

본 논문은 “Escalation”이라 불리는 현상이 무한 게임에서 어떻게 발생하고, 그것이 합리적인 행동인지 여부를 코인덕션(coinduction)이라는 논리적 도구를 통해 체계적으로 분석한다. 저자는 먼저 무한 게임과 무한 전략 프로필을 정의하기 위해 코인덕션의 개념을 소개한다. 코인덕션은 무한 구조를 “가장 큰 고정점”으로 정의하고, 그 구조 위에서 성질을 증명할 때 미래(무한히 진행되는 부분)로부터 현재를 역추적하는 방식이다. 이를 ‘역코인덕션(backward coinduction)’이라 부르며, 전통적인 역귀납(backward induction)과는 근본적으로 다르다. 논문의 핵심 사례는 달러 경매(dollar auction) 게임이다. 이 게임은 두 명의 플레이어가 차례로 1달러씩 입찰하고, 마지막 입찰자가 물건을 얻으며, 두 번째 마지막 입찰자는 입찰한 금액을 잃게 되는 구조다. 유한 버전에서는 제한된 은행금액을 가정하고 역귀납을 적용하면, “양쪽 모두 즉시 멈춘다”는 유일한 서브게임 완전균형(SPE)이 도출된다. 그러나 저자는 이 유한 결과를 무한 버전으로 그대로 확장하는 것이 오류임을 지적한다. 무한 버전에서는 게임 트리가 무한히 깊어지며, 각 단계에서 플레이어는 “멈춘다(stop)” 혹은 “계속한다(continue)” 중 하나를 선택한다. 저자는 Coq을 이용해 무한 전략 프로필을 스트림 형태로 형식화하고, 코인덕션 원리를 적용해 두 가지 서브게임 완전균형을 증명한다. 첫 번째 SPE는 “상대가 언제든지 멈출 것”이라는 전제 하에, 한 플레이어가 계속 입찰하고 상대는 매 단계 멈추는 전략이다. 이 경우 입찰자는 무한히 비용을 지불하지만, 상대가 포기함으로써 최종적으로 물건을 획득하고 양의 보상을 얻는다. 코인덕션 증명에서는 이 전략 프로필이 불변(invariant)임을 보이며, 모든 미래 단계에서 동일한 선택이 유지되므로 현재 단계에서도 최적임을 확인한다. 두 번째 SPE는 반대로, 한 플레이어가 영원히 멈추지 않을 것을 전제로, 다른 플레이어가 매 단계 멈추는 경우이다. 여기서 멈추는 쪽은 손실을 최소화하고, 계속 입찰하는 쪽은 상대가 포기함으로써 결국 이득을 얻는다. 두 경우 모두 “한쪽이 영원히 입찰을 지속한다”는 가정이 핵심이며, 이는 무한 게임 특유의 전략적 상호작용을 반영한다. 흥미로운 점은 양쪽이 모두 매 단계 멈추는 전략이 내시 균형(Nash equilibrium)이 아니라는 것이다. 즉, 어느 한쪽이 일방적으로 “계속 입찰”로 전환하면 자신의 기대 이득을 증가시킬 수 있기 때문에, 이 전략은 서브게임 완전균형이 아니다. 이는 유한 게임에서 “즉시 멈춤”이 유일한 균형이었지만, 무한 게임에서는 그 결론이 깨진다는 중요한 교훈을 제공한다. 또한, 논문은 무한 플레이에 대해 유틸리티가 정의되지 않을 수 있음을 강조한다. 무한히 진행되는 경로는 보상이 수렴하지 않으므로, 자동화된 계산 모델(예: Coq)에서는 이러한 경로에 유틸리티를 할당하지 않는다. 이는 ‘무한 플레이는 유틸리티가 없다’는 가정을 정당화하고, 코인덕션 기반 증명과 일관되게 만든다. 방법론적으로 저자는 Coq을 이용해 모든 정리를 기계 검증했으며, 증명 스크립트를 공개함으로써 재현 가능성을 확보했다. 특히, 코인덕션 원리를 실제 게임 이론 정리 증명에 적용하는 과정을 상세히 제시함으로써, 형식 검증 도구가 경제학·게임 이론 연구에 어떻게 활용될 수 있는지를 보여준다. 논문의 마지막 부분에서는 기존 문헌과의 차별점을 논한다. 이전 연구들은 주로 유한 제한을 두고 역귀납을 사용했으며, 무한 게임에 대한 체계적 분석은 부족했다. 본 연구는 코인덕션을 도입함으로써 무한 게임에서도 합리적 전략을 정의하고, “에스컬레이션” 현상이 비합리적이 아니라 특정 가정 하에 합리적인 선택임을 수학적으로 입증한다. 이는 게임 이론에서 무한 구조를 다루는 새로운 패러다임을 제시하며, 향후 무한 반복 협상, 무한 경매, 지속 가능한 정책 설계 등 다양한 분야에 적용 가능성을 열어준다.