행·열 선택을 위한 효율적인 부피 샘플링

우리는 부피 샘플링, 즉 행렬의 행 중 $k$개를 선택할 때 원점과 이들 행이 정의하는 단순체의 제곱 부피(또는 이들 행이 정의하는 평행육면체의 제곱 부피)에 비례하는 확률로 선택하는 효율적인 알고리즘을 제시한다. 이는 Kannan과 Vempala의 스펙트럴 알고리즘에 관한 모노그래프에서 제기된 열린 문제를 해결한다. 우리의 첫 번째 알고리즘은 $m \times n$ 행렬에서 $k$-행 부피 샘플링을 $O(k\,m\,n^{\omega}\log n)$ 연산으로 수행한다. 두 번째 변형은 $(1+\epsilon)$-근사 부피 샘플링을 $O\big(mn\log m\cdot k^{2}/\epsilon^{2}+m\log^{\omega} m\cdot k^{2\omega+1}/\epsilon^{2\omega}\cdot\log(k\epsilon^{-1}\log m)\big)$ 연산으로 수행하며, 작은 $k$에 대해 입력 크기(즉, 원소 개수)에 거의 선형에 가깝다. 우리의 효율적인 부피 샘플링 알고리즘은 저랭크 행렬 근사에 대한 여러 흥미로운 결과를 도출한다.