무작위 탐욕 삼각형 포장 알고리즘의 새로운 상한

본 논문은 무작위 탐욕 알고리즘을 이용해 완전 그래프에서 삼각형을 하나씩 제거해 나가는 과정, 즉 “무작위 탐욕 삼각형 포장” 문제를 다룬다. 초기 그래프 \(G(0)\)는 정점 수 \(n\)인 완전 그래프이며, 단계 \(i\)에서는 현재 그래프 \(G(i)\)에 존재하는 모든 삼각형 중 하나를 균등하게 선택해 그 삼각형의 세 변을 모두 삭제한다. 이 과정을 더 이상 삼각형이 존재하지 않을 때까지 반복한다. 최종 그래프 \(G(M)\)는 삼각형이 없는 그래프이며, 남은 간선 수 \(|E(M)|\)를 분석 대상 변수로 삼는다. 역사적으로 이 과정은 부분 Steiner‑Triple‑System(부분 Steiner 시스템) 구축과 밀접한 관련이 있다. 특히, \(|E(M)|=o(n^{2})\)가 고확률로 성립하면 \(k=3, t=2\) 경우의 Erdős–Hanani 추측을 최적에 가깝게 만족하는 부분 Steiner 시스템을 얻는다. 이전 연구에서는 \(|E(M)|=o(n^{2})\)와 \(|E(M)|\le n^{11/6+o(1)}\) 정도의 상한이 알려졌으며, Grable은 \(|E(M)|\le n^{7/4+o(1)}\)를 제시했다. 본 논문은 이러한 기존 결과를 보다 간결한 방법으로 재증명한다. 핵심 도구는 차분 방정식 방법(differential‑equation method)과 마팅게일 편차 부등식이다. 저자들은 두 종류의 주요 확률 변수, 즉 현재 그래프의 삼각형 수 \(Q(i)\)와 각 정점 쌍 \(\{u,v\}\)의 공동 차수 \(Y_{u,v}(i)\)를 추적한다. 연속 시간 변수 \(t=i/n^{2}\)를 도입하고, 기대값을 Erdős–Rényi 모델 \(G_{n,p(t)}\)와 일치시키기 위해 \(p(t)=1-6t\)라 두었다. 이때 기대 공동 차수와 삼각형 수는 각각 \(y(t)=p(t)^{2}n\)와 \(q(t)=p(t)^{3}n^{3}/6\)가 된다. 오차 함수를 \(f(t)=5-30\log p(t)\)라 정의하고, 다음 두 부등식을 고확률로 유지한다. 1. 모든 \(\{u,v\}\)에 대해 \(|Y_{u,v}(i)-y(t)n|\le f(t)p n\log n\). 2. 모든 단계 \(i\le i_{0}=n^{2}/6-5n^{7/4}\log^{5/4}n\)에 대해 \(Q(i)\ge q(t)n^{3}-f(t)^{2}n^{2}\log n\,p(t)\). 이 부등식들은 “자기 교정” 성질을 갖는다. 즉, \(Q(i)\)가 기대값보다 크게 벗어나면 한 단계에서 삼각형 감소량이 평균보다 커져 기대값으로 다시 끌어당겨지고, 반대로 작게 벗어나면 감소량이 작아져 다시 평균으로 복귀한다. 이를 정량화하기 위해 Cauchy–Schwarz 부등식과 공동 차수의 상한을 이용해 \(\mathbb{E}