동시 직교·동형 삼각형 정리

초록

삼각형 ABC와 두 등각점 P₁, P₂의 페달 삼각형 A₁B₁C₁, A₂B₂C₂에 대해, ABC와 A₁B₁C₁이 동형(AA₁, BB₁, CC₁이 한 점에서 만나면)일 경우, 등각점 관계에 의해 ABC와 A₂B₂C₂도 반드시 동형임을 증명한다.

상세 요약

본 논문은 삼각형 ABC와 그 내부(또는 외부)의 두 등각점 P₁, P₂에 대한 페달 삼각형 A₁B₁C₁, A₂B₂C₂ 사이의 동형 관계를 탐구한다. 등각점이란 한 점 P와 그 등각점 P′가 각 A, B, C의 내각을 기준으로 서로 대칭되는 점을 의미한다. 이때 P와 P′는 서로의 이소골라(이소각) 관계에 놓이며, 각각의 페달 삼각형은 원점 P 또는 P′에서 각 변에 수직으로 내린 발을 연결해 만든다. 논문은 먼저 ABC와 A₁B₁C₁이 동형이라는 가정, 즉 AA₁, BB₁, CC₁이 한 점 O에서 교차한다는 전제를 두고, 이 교점 O가 삼각형 ABC의 삼각형 중심(예: 삼각형의 외심·내심·오심 등)과 어떤 연관을 갖는지를 분석한다.

핵심 아이디어는 삼각형 ABC와 A₁B₁C₁ 사이의 동형이 삼각형 ABC와 A₂B₂C₂ 사이에도 전이될 수 있음을 보이는 것이다. 이를 위해 저자는 삼각형 ABC에 대한 삼각비 형태의 세바 정리를 활용한다. 구체적으로, AA₁, BB₁, CC₁이 한 점 O에서 만나려면
\