연속분수 기반 시퀀스 무작위성 측정법

초록

본 논문은 이진 시퀀스를 정수로 해석한 뒤 그 수의 연속분수(CF) 전개 길이를 무작위성 지표로 제안한다. 기존의 PN·D 시퀀스 분석과 비교해 CF 구성 요소 수가 클수록 무작위성이 높다고 주장하며, 분수 형태와 CF 형태의 표현 차이를 실험적으로 검증한다.

상세 분석

논문은 먼저 무작위성 평가에 사용되는 전통적인 통계적·알고리즘적 방법(엔트로피, 선형 복잡도, 자동 상관 등)의 한계를 지적한다. 특히 PN(의사 난수) 시퀀스는 짧은 주기와 높은 선형 복잡도를 보이지만, 실제 무작위성은 구조적 패턴에 의해 제한될 수 있다. 이를 보완하기 위해 저자는 시퀀스를 0·1 문자열로부터 2진법 정수 N으로 변환하고, N을 연속분수 형태 N = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + …)) 로 전개한다. 연속분수 전개의 각 계수 aᵢ는 유클리드 알고리즘의 단계와 일치하므로, 전개 길이 L은 N을 최소한의 정수 조합으로 표현하는 복잡도를 직접 반영한다. 저자는 “무작위성 측정 R = L”이라는 간단한 정의를 내놓으며, 이는 기존 복잡도 지표와 달리 순수히 수학적 구조에 기반한다는 점이 특징이다.

실험에서는 대표적인 PN 시퀀스(예: m‑시프트 레지스터 기반 m‑seq)와 D‑시퀀스(소수의 소수점 이하 부분을 이진화한 것)를 대상으로, 각각을 분수 p/q 형태와 연속분수 형태로 변환한다. 동일한 p/q에 대해 분모·분자 크기가 클수록 연속분수 전개 길이도 증가하지만, 전개 길이와 실제 무작위성 사이의 상관관계는 분수 형태만으로는 파악하기 어렵다. 저자는 전개 길이가 짧은 경우(예: 1/7 →