GTSP 문제 규모 축소를 위한 효율적 정점·간선 감소 알고리즘

본 논문은 일반화된 외판원 문제(Generalized Traveling Salesman Problem, GTSP)의 인스턴스 크기를 효과적으로 축소하기 위한 두 단계 전처리 알고리즘을 제시한다. GTSP는 N개의 정점이 M개의 클러스터 V₁,…,V_M 로 나뉘어 있으며, 각 클러스터에서 정확히 하나의 정점을 선택해 최소 가중 사이클을 구성하는 문제이다. 이는 전통적인 TSP의 일반화 형태로, NP‑hard 특성을 가진다. 첫 번째 단계인 정점 감소(Vertex Reduction)에서는 클러스터 C( |C|>1 ) 내부의 정점 r이 “중복”인지 판단한다. 정의에 따르면, 임의의 서로 다른 클러스터에 속한 x와 y에 대해 dist(x,r)+dist(r,y) ≥ dist(x,s)+dist(s,y) 를 만족하는 다른 정점 s∈C\{r}가 존재하면 r은 최적 해에 포함될 필요가 없으므로 제거 가능하다. 직접 검사는 O(N³·|V|) 비용이 소요되지만, 저자는 ∆_{r,s}(x)=dist(x,r)-dist(x,s) 를 사전 계산해 차이 테이블을 구축한다. 이 테이블에서 두 열(각 클러스터 내 정점) 간의 합이 음이 되는 경우만 추가 검증함으로써 평균 연산량을 크게 감소시킨다. 또한 “가속 휴리스틱”을 도입해 각 열의 최대값과 클러스터별 최소값을 미리 비교해 불필요한 검사를 조기에 종료한다. 정점은 최대 두 번만 검사하도록 제한함으로써 전체 복잡도는 최악 O(N³)에서 평균 Θ(N²·4) 수준으로 낮아진다. 두 번째 단계인 간선 감소(Edge Reduction)에서는 정점 v∈C와 다른 클러스터 U의 정점 u 사이의 간선 uv가 중복인지 판단한다. 먼저 C\{v}에서 임의의 v′를 선택하고, 모든 외부 정점 x에 대해 ∆_{v,v′}(x)=dist(x,v)-dist(x,v′) 를 계산해 배열 P에 저장한 뒤 비내림차순으로 정렬한다. 이후 각 클러스터 U와 정점 u에 대해 δ=∆_{v,v′}(u)를 구하고, P에서 ∆_{v,v′}(x)+δ<0 인 경우에만 추가 검증을 수행한다. 이때 어떤 v″∈C\{v,v′}가 존재해 ∆_{v,v″}(x)+∆_{v,v″}(u)≥0 를 만족하면 uv는 중복으로 판단되어 거리값을 ∞ 로 설정한다. 이 알고리즘의 최선 복잡도는 Θ(N² log N), 최악은 Θ(N³·|C|)이며, 실제 실험에서는 Θ(N²·6) 수준을 보였다. 실험에서는 TSPLIB 기반 GTSP 인스턴스를 사용해 세 가지 전처리 방식을 평가하였다: 정점 감소만 적용, 간선 감소만 적용, 그리고 두 과정을 연속 적용한 결합 알고리즘. 전처리 결과는 평균적으로 정점 15~20%, 간선 5~30%를 제거했으며, 전처리 시간은 인스턴스 규모에 따라 0.1초에서 30초 사이였다. 전처리 후 Concorde, LKH, 그리고 GTSP 전용 메타휴리스틱 등 기존 솔버에 적용했을 때 전체 해결 시간이 10~60% 감소했으며, 특히 정점 수가 수백에서 천 수준인 대규모 인스턴스에서 효과가 두드러졌다. 논문의 주요 기여는 다음과 같다. 1) 정점·간선 중복성을 수학적으로 정의하고, 이를 효율적으로 검사할 차이 테이블 기반 방법을 제시하였다. 2) 가속 휴리스틱을 통해 최악 복잡도 O(N³)에도 불구하고 실험에서는 거의 선형에 가까운 실행 시간을 달성하였다. 3) 다양한 GTSP 인스턴스와 솔버에 대한 광범위한 실험을 통해 전처리의 일반적 유용성을 입증하였다. 이러한 전처리 기법은 기존 GTSP 솔버와 결합될 때 문제 규모를 현저히 축소하고, 계산 시간을 크게 단축시키는 실용적 도구로 활용될 수 있다.