GTSP를 위한 새로운 메메틱 알고리즘

본 논문은 일반화된 외판원 문제(Generalized Traveling Salesman Problem, GTSP)의 효율적인 해결을 목표로, 강력한 지역 탐색 절차와 유전 연산자를 결합한 새로운 메메틱 알고리즘을 제안한다. GTSP는 도시를 여러 클러스터로 나누고, 각 클러스터에서 정확히 하나의 도시를 선택해 최소 길이의 순환을 찾는 문제로, TSP의 일반화 형태이며 NP‑hard 문제이다. 기존 연구에서는 주로 대칭 GTSP에만 적용 가능한 메메틱 휴리스틱이 제안되었으며, 비대칭 인스턴스에 대한 효과적인 방법은 부족했다. **1. 알고리즘 구조** 알고리즘은 전형적인 메메틱 프레임워크를 따르며, 다음 단계로 구성된다. - **초기화**: 반무작위(semirandom) 구축 휴리스틱을 사용해 2·M개의 초기 해를 생성한다. 클러스터 순열을 무작위로 만든 뒤, 각 클러스터에서 현재 순서에 최적화된 정점을 선택한다(Cluster Optimization, CO). - **지역 개선**: 각 초기 해에 대해 다중 지역 탐색을 수행한다. 이 단계는 전체 알고리즘에서 가장 많은 연산 시간을 차지하지만, 해의 품질을 크게 향상시킨다. - **다음 세대 생성**: 재생산, 교차, 돌연변이 연산자를 적용해 새로운 후보 해 집단을 만든다. 재생산은 상위 r% 해를 그대로 복제하고, 교차는 두‑점 교차를 변형한 방식으로 클러스터 순서를 보존하면서 구간을 교환한다. 돌연변이는 무작위 구간을 추출해 다른 위치에 삽입해 다양성을 확보한다. - **다음 세대 개선**: 새로 만든 해에 다시 지역 탐색을 적용한다. - **반복**: 위 과정을 종료 조건이 만족될 때까지 반복한다. **2. 해의 인코딩** 해는 자연스러운 염색체 형태( s₁ s₂ … s_M )로 표현된다. 여기서 s_i는 i번째 클러스터에서 선택된 정점을 의미한다. 동일한 순환을 나타내는 회전 변환은 정규화 과정을 통해 동일하게 인식한다. 대칭 문제에서는 반전도 고려하지만, 비대칭 문제에서는 반전을 구분해 서로 다른 해로 취급한다. 이러한 코딩은 지역 탐색 단계에서 클러스터 최적화를 효율적으로 수행할 수 있게 한다. **3. 지역 탐색 절차** 다음과 같은 여섯 가지 휴리스틱을 순차적으로 적용한다. - **Swap**: 비인접 정점 쌍을 교환해 개선을 시도한다. - **k‑Neighbor Swap**: 길이 k인 연속 구간에 대해 모든 비자명한 순열을 시험하고, 각 구간 내 최적 정점을 재선택한다. - **2‑opt**: 비인접 에지 쌍을 교환해 경로 길이를 감소시킨다. - **Direct 2‑opt**: 가장 긴 에지를 선택해 해당 에지와 비인접 에지 쌍을 교환한다. - **Insert**: 정점을 제거하고 다른 위치에 삽입해 개선을 찾는다. - **Cluster Optimization (CO)**: 고정된 클러스터 순서에서 각 클러스터의 최적 정점을 찾기 위해 acyclic digraph의 최단 (s,t) 경로 알고리즘을 사용한다. 이 과정은 클러스터 최소 크기에 비례하는 선형 시간 복잡도를 가진다. 비대칭 인스턴스에서는 초기 집단 규모를 4·M으로 늘리고, 대기 세대 수를 5만큼 추가하는 등 파라미터를 조정해 효율성을 높인다. **4. 파라미터 동적 조정** 재생산·교차·돌연변이 연산자의 실행 횟수는 r = 0.2·G + 0.05·M + 10 (G는 현재 세대 번호, M은 클러스터 수) 로 정의된다. 이는 세대가 진행될수록 탐색 강도를 점진적으로 증가시키면서도, 클러스터 수가 많을수록 더 많은 후보 해를 생성하도록 설계된 것이다. **5. 종료 조건** ‘idle generation’ 개념을 도입해, 현재 최적 해가 이전 세대와 동일하면 해당 세대를 idle로 간주한다. 연속 idle 세대 수 I_cur가 이전에 관측된 최대 idle 수 I_max의 1.5배를 초과하거나 최소 (0.05·M+5) 세대에 도달하면 알고리즘을 종료한다. 이는 과도한 탐색을 방지하면서도 충분한 수렴 기회를 제공한다. **6. 실험 결과** 다양한 대칭·비대칭 GTSP 인스턴스에 대해 기존 메메틱 휴리스틱(문헌