pq² 차원의 적분 퓨전 카테고리와 Z/3 그레이드 일반화의 완전 분류

본 논문은 퓨전 카테고리 이론에서 두 가지 새로운 분류 결과를 제시한다. 첫 번째는 차원 |C|=pq² (p, q는 서로 다른 소수)인 적분 퓨전 카테고리 C의 완전한 분류이다. 기존 연구에서는 차원 p, p², pq, pqr 등에서 대부분 군‑이론적(그룹‑이론적) 카테고리만이 나타났으며, 비군‑이론적 예시는 존재하지 않았다. 그러나 저자들은 ENO3에서 제시된 확장 이론을 활용해, 차원 pq²에서는 비군‑이론적 카테고리가 등장함을 보인다. 구체적으로 Theorem 1.1에 따르면 C는 다음 중 하나이다. (1) 그룹‑이론적 카테고리, 즉 어떤 유한군 G의 표현 카테고리 Rep(G)와 모라이트 동등함. (2) p=2인 경우, 전통적인 Tambara‑Yamagami 카테고리이며, 여기서는 (ℤ/qℤ)² 위에 정의된 비동형 이차 형식에 의해 두 개의 동형류가 존재한다. (3) p가 홀수이고 p | (q+1)인 경우, 새로운 가족 C(p,q,{ζ₁,ζ₂},ξ) 가 등장한다. ζ₁,ζ₂는 𝔽_{q²} 내의 p차 원소이며 ζ₁ζ₂≠1, ξ는 H³(ℤ/pℤ,ℂ^*)≅ℤ/pℤ의 원소이다. 이러한 카테고리는 (p²−p)/2개의 서로 다른 동형류를 가진다. 이 경우는 비군‑이론적이며, 차원 pq²에서 최초로 비군‑이론적 적분 퓨전 카테고리가 존재한다는 점에서 의미가 크다. Corollary 1.2는 이 결과를 이용해 차원 pq²인 모든 반단순 Hopf 대수는 군‑이론적임을 즉시 얻는다(다른 증명은 ENO2에 존재). 두 번째 주요 결과는 p=3인 경우의 ℤ/3ℤ‑그레이드 퓨전 카테고리의 분류이다. 여기서 다루는 퓨전 링 R_{3,A}는 유한 아벨 군 A와 정수 p=3에 의해 생성된 원소 X₁,…,X_{p−1}을 포함한다. 정의에 따라 R_{3,A}는 ℤ