파생 맥케이 펑터를 위한 새로운 삼각범주 구조

본 논문은 유한군 G에 대한 전통적인 맥케이 펑터 범주 M(G) 의 유도된 범주 D(M(G)) 가 기대와 달리 여러 병리적 현상을 보이며, 특히 인플레이션 함자 Infl_{N}^{G} 가 완전 충실하지 못해 G‑동형 안정동형 범주 StHom(G) 와의 구조적 대응이 깨진다는 점을 지적한다. 이러한 문제를 해결하기 위해 저자는 ‘파생 맥케이 펑터’라 명명한 새로운 삼각범주 DM(G) 를 정의한다. **1. 서론 및 동기** 맥케이 펑터는 G‑동형 CW‑복합체 X 의 호몰로지를 H_q^G(X,ℤ) 형태로 정리하고, 각 부분군 H≤G 에 대한 고정점 호몰로지 H_q(X^H,ℤ) 까지 동시에 포착한다. 전통적인 접근은 M(G) 를 아벨 범주로 보고, 그 유도된 범주 D(M(G)) 를 통해 호몰로지 이론을 확장하려 했지만, 인플레이션과 고정점 함자 사이의 불일치가 발생한다. 특히 G=ℤ/pℤ 의 경우, D_G(M(G)) (‘지원이 {e} 이 아닌 객체들’)가 ℤ‑모듈의 유도된 범주와 동등하지 않으며, 이는 구조적 결함을 드러낸다. **2. 맥케이 펑터와 지원 필터링** 섹션 2에서는 M(G) 의 기본 정의와, 각 부분군 H≤G 에 대한 서브카테고리 M_H(G) (‘지원이 H 의 공액을 포함하는 객체들’)를 소개한다. 이 서브카테고리들은 세리(Serre) 서브카테고리이며, 지원에 의한 필터링을 제공한다. 필터링의 상위 층은 정규화자 N_H 의 몫군 W_H=N_H/H 에 대한 ℤ‑모듈 범주와 동형한다는 고전적인 결과가 재현된다. **3. 파생 맥케이 펑터의 정의** 섹션 3‑4에서는 두 가지 동등한 모델을 제시한다. - **바‑해상도 모델**: A∞‑카테고리와 바‑해상도를 이용해, ‘가법화(additivization)’ 과정을 거쳐 비가법성을 제거하고 삼각구조를 만든다. - **S‑구성 모델**: Waldhausen의 S‑구성을 차용해, 복합체의 ‘구조적’ 정의를 제공한다. 두 모델은 섹션 4에서 동등함을 증명한다. **4. 삼각구조와 반직교 분해** 핵심 결과는 DM(G) 가 반직교 분해(semi‑orthogonal decomposition)를 갖는다는 점이다. 각 H≤G 에 대해 전이 사상 j_{H!}, j_H^* 와 그 좌·우 어드쥔트가 존재하고, \