연속 전단사 불가능성: ℝⁿ ↔ ℝ² ( n≠2 )에 대한 새로운 증명

본 논문은 “ℝⁿ( n≠2 )에서 ℝ²로의 연속 전단사 함수는 존재하지 않는다”는 명제를 전통적인 위상수학적 도구 없이 증명하고자 한다. 이를 위해 저자는 두 가지 주요 결과를 제시한다. 첫 번째 결과는 임의의 기수 β(β≤2^{ℵ₀})에 대해 ℝⁿ( n≥3 )을 β개의 아크연결·밀집 부분집합으로 분할할 수 있다는 것이다. 구체적인 구성은 다음과 같다. ℝ⁺를 Q-코셋(ℝ/Q)의 대표원소들로 나누면 2^{ℵ₀}개의 서로소 집합 S_i가 얻어진다. 각 S_i는 ℝ⁺에서 밀집하므로, 원점 중심 구의 반지름을 S_i에 속하는 실수들로 제한한 집합 A_i={x∈ℝ³ |‖x‖∈S_i} 를 만든다. A_i는 구의 “껍질” 형태이며, 구 자체는 연결하지만 반지름이 제한된 부분은 구의 일부만 차지한다. 여기서 저자는 각 i에 대해 직선 L_i={(t, i t,0) | t>0} 를 정의하고, B_i=(A_i\⋃_{j}L_j)∪L_i 로 만든다. 직선 L_i는 A_i의 “구멍”을 메우는 역할을 하여 B_i가 연속적인 경로로 연결된다고 주장한다. 다음 단계에서는 B_i를 ℝⁿ에 확장한다. B_i×ℝ^{n-3} 를 정의하면, 이는 ℝⁿ 전체를 차지하면서도 각각이 아크연결이며, 원래의 S_i가 ℝ⁺에서 밀집했으므로 B_i×ℝ^{n-3} 역시 ℝⁿ에서 밀집한다. 따라서 {B_i×ℝ^{n-3} | i∈I} 로 ℝⁿ을 2^{ℵ₀}개의 아크연결·밀집 집합으로 분할할 수 있다. 두 번째 결과는 기존 문헌(Rudin, 1963)에서 증명된 “ℝ²는 가산 초과의 아크연결·밀집 분할이 불가능”이라는 정리를 인용한다. 즉, ℝ²를 3개 이상의 아크연결·밀집 집합으로 나눌 수 없다는 것이다. 이제 위 두 결과를 연결한다. 만약 n>2이고 ℝⁿ에서 ℝ²로 연속 전단사 f가 존재한다면, ℝⁿ을 2^{ℵ₀}개의 아크연결·밀집 집합 {C_j} 로 분할할 수 있다. 연속 사상 f는 각 C_j를 ℝ²의 아크연결·밀집 집합 f(C_j) 로 보낸다(논문에서는 Lemma 2를 이용). 따라서 ℝ²는 적어도 3개의 아크연결·밀집 집합으로 분할될 수 있게 되며, 이는 Rudin의 정리와 모순된다. n=1인 경우는 별도의 정리(정리 3)에서 다루어진다. ℝ→ℝ^m (m≠1) 연속 전단사 함수가 존재한다면, ℝ^m은 첫 번째 범주가 아니므로 어느 구간의 이미지가 내부를 갖게 되고, 이는 1차원 구간과 위상학적으로 모순된다. 따라서 n=1도 제외된다. 결국, n≠2인 모든 경우에 대해 ℝⁿ에서 ℝ²로의 연속 전단사 함수는 존재하지 않음이 증명된다. 하지만 논문 전반에 걸쳐 몇 가지 논리적·기술적 결함이 존재한다. 첫째, ℝ/Q의 코셋이 ℝ⁺에서 밀집한다는 사실을 명시적으로 증명하지 않았다. 둘째, B_i가 실제로 아크연결임을 보이기 위해서는 구의 “호를 제거하고 직선을 붙이는” 과정이 연속 경로를 유지한다는 구체적인 구성이 필요하지만, 논문에서는 이를 단순히 직관에 맡겼다. 셋째, Lemma 2(b)에서 “연속 사상이 아크연결 집합을 아크연결 집합으로 보낸다”는 일반적인 사실이 아니라, 사상이 일대일이거나 경로가 사상 전후에 끊기지 않는 추가 조건이 필요하다. 이러한 점들은 증명의 엄밀성을 약화시킨다. 마지막으로, 기존에 잘 알려진 불변 영역 정리와 차원 보존 정리를 회피하려는 시도는 이해하지만, 실제로는 그와 동등하거나 더 강한 가정을 암묵적으로 사용하고 있다. 따라서 논문의 결과는 기존 이론과 일치하지만, 독립적인 새로운 증명으로 받아들이기 위해서는 위에서 지적한 부분들을 보완해야 한다.