정사각형 격자 포장 색채 수 최소값 12 이상 증명

초록

본 논문은 2차원 정사각형 격자 ℤ²의 포장 색채 수 χₚ(ℤ²)가 최소 12임을 보인다. 기존 하한값 10을 개선했으며, 제한된 크기의 부분 격자에 대한 체계적 경우분석과 컴퓨터 기반 검증을 결합한 새로운 증명 기법을 제시한다.

상세 분석

포장 색채 수 χₚ(G)는 정점들을 X₁,…,X_k 로 분할하되, X_i 에 속한 두 정점 사이의 거리 d(u,v) 가 i 보다 크게 요구되는 최소 k 를 의미한다. 격자 그래프 ℤ² 에서는 무한히 많은 정점이 규칙적인 구조를 이루므로, 전통적인 색채 이론과는 다른 복합적인 거리 제약이 존재한다. 기존 연구에서는 χₚ(ℤ²)≥10 이라는 하한만 알려졌으며, 상한은 17 정도로 알려져 있었다. 본 논문은 하한을 12 로 끌어올리는 데 성공했으며, 핵심 아이디어는 “유한 영역 내에서 가능한 색채 배치를 모두 열거하고, 그 중 어느 경우에도 11색으로는 전체 격자를 포장할 수 없음을 보인다”는 것이다.

우선, 저자들은 ℤ² 를 13×13 크기의 정사각형 블록 B 로 제한하고, B 의 경계 조건을 고려해 무한 격자 전체에 대한 반복 패턴을 유도한다. B 내부에서 색채 클래스 X_i 가 차지할 수 있는 최대 밀도와 거리 제약을 수식화하고, 이를 기반으로 “색상 i 가 차지할 수 있는 최대 셀 수” 를 상한값으로 계산한다. 그런 다음, 각 i 에 대해 가능한 배치 조합을 조합론적으로 제한한다. 예를 들어, X₁ 은 인접 정점이 절대로 겹치지 않아야 하므로 체스판식 체킹 패턴만 허용되고, X₂ 는 최소 거리 3 을 만족해야 하므로 격자 간격이 2인 격자점만 선택 가능하다. 이러한 제약을 단계별로 적용하면, 11색 이하로는 B 를 완전히 채울 수 없는 경우가 발생한다는 사실을 도출한다.

하지만 순수 조합론만으로는 모든 경우를 배제하기 어렵다. 따라서 저자들은 SAT‑solver 기반의 자동화 검증 도구를 활용해 남은 미확인 경우들을 전산적으로 탐색한다. 구체적으로, 각 정점에 색상 변수를 할당하고, 거리 제약을 논리식으로 변환한 뒤, CNF 형태로 변환하여 SAT‑solver에 입력한다. solver 가 UNSAT 를 반환하면 해당 배치가 불가능함을 의미한다. 이 과정을 모든 가능한 색상 배치 후보에 대해 수행했으며, 11색 이하에서는 언제든지 UNSAT 결과가 도출되었다.

결과적으로, ℤ² 전체에 대해 12색 이상이 필요함을 증명함으로써, 기존 하한값 10 을 12 로 끌어올렸다. 이 증명은 조합론적 분석과 전산 검증을 결합한 새로운 방법론을 제시하며, 향후 무한 격자 그래프의 색채 문제에 대한 상한·하한 개선에 활용될 가능성이 크다.