k n⁄2일 때 이항계수의 단조성 5가지 증명

이 논문은 “\(k<\frac n2\)이면 \(\binom{n}{k}\le\binom{n}{k+1}\)” 라는 사실을 다섯 가지 서로 다른 방법으로 증명한다. 첫 번째 방법은 가장 기본적인 팩터리얼 정의를 이용한다. \(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\) 와 \(\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\) 를 비교하면 \(\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}=\frac{n-k}{k+1}\) 가 되며, 이 비율이 1 이상이 되려면 정확히 \(k<\frac n2\) 가 필요함을 보여준다. 두 번째 증명은 파스칼 삼각형의 재귀식 \(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\) 를 기반으로 한 귀납법이다. 귀납 가정으로 \(\binom{n-1}{k}\le\binom{n-1}{k+1}\) 를 두고, 이를 위 식에 대입하면 \(\binom{n}{k}\le\binom{n}{k+1}\) 가 도출된다. 여기서 \(n=2k+1\) 인 경우는 대칭성 \(\binom{2k+1}{k}=\binom{2k+1}{k+1}\) 로 바로 증명한다. 세 번째 증명은 순수한 조합적 사상, 즉 인젝션을 구성한다. 임의의 \(k\)-원소 집합 \(S\subseteq\{1,\dots,n\}\) 에 대해, 가장 작은 정수 \(r\) 를 찾아 \(|S\cap\{1,\dots,r\}|=\frac{r-1}{2}\) 를 만족하게 만든다. 그런 뒤 \(S\) 를 두 부분으로 나누어 \(\{1,\dots,r\}\setminus S\) 와 \(S\cap\{r+1,\dots,n\}\) 를 합치면 \((k+1)\)-원소 집합이 된다. 이 과정은 서로 다른 입력이 서로 다른 출력으로 가는 일대일 대응을 보장한다. 네 번째 증명은 생성함수와 다항식의 단봉성(unimodality)을 이용한다. \((1+x)^n\) 의 전개식에서 계수는 정확히 \(\binom{n}{k}\) 이다. \((1+x)^n\) 은 대칭이며, 계수들이 처음에는 증가하고 중간을 지나면 감소한다는 것이 알려진 사실이다. 따라서 \(k<\frac n2\) 일 때 \(\binom{n}{k}\le\binom{n}{k+1}\) 가 성립한다. 마지막 증명은 선형대수학적 관점이다. \(V_k\) 를 \(k\)-부분집합을 기저로 하는 벡터공간이라 두고, 연산자 \(M:V_k\to V_{k+1}\) 를 \(M(S)=\sum_{j\notin S}(S\cup\{j\})\) 로 정의한다. 또 보조 연산자 \(L:V_k\to V_{k-1}\) 를 \(L(S)=\sum_{i\in S}(S\setminus\{i\})\) 로 두면, 두 연산자의 교환 관계 \(ML-LM=(2k-n)I\) 가 성립한다. 여기서 \(k<\frac n2\) 이면 \(2k-n<0\) 이므로 \(M\) 은 영벡터만을 영상으로 보내는 전사(즉, 일대일 대응)임을 알 수 있다. 따라서 차원 \(\dim V_k=\binom{n}{k}\) 가 \(\dim V_{k+1}=\binom{n}{k+1}\) 보다 작지 않음이 증명된다. 이 다섯 증명은 각각 대수적, 귀납적, 조합적, 다항식적, 그리고 선형대수적 방법을 통해 동일한 부등식을 다각도로 조명한다. 논문은 또한 대칭 사슬 분해와 Sperner 정리, 그리고 Chebyshev의 소수 정리와의 연관성을 언급하며, 이 부등식이 조합론, 확률, 그리고 수론에서 얼마나 기본적인 역할을 하는지를 강조한다.