알고리즘적으로 접근할 수 없는 정의 가능한 수

초록

이 논문은 튜링 기계가 생성할 수 있는 “접근 가능” 실수를 정의하고, 기존에 알려진 비계산수 대부분이 이러한 접근 가능성에 포함됨을 보인다. 이어서 어떠한 튜링 기계도 임의의 정밀도로 수렴하도록 만들 수 없는, 새롭게 구성된 정의 가능한 실수를 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 “접근 가능(approachable)”이라는 새로운 개념을 도입한다. 전통적인 ‘계산 가능(computable)’은 유한 단계에서 정확히 값을 출력할 수 있는 수를 의미하지만, 접근 가능은 무한히 진행되는 일련의 근사값이 존재하고 그 근사값을 생성하는 알고리즘이 튜링 기계에 의해 구현될 수 있음을 요구한다. 즉, 실수 x 에 대해, 어떤 TM M이 입력 n (정밀도) 을 받아서 x의 첫 n 자리(또는 ε‑근사)를 출력하고, n이 커질수록 출력이 x에 수렴한다면 x는 ‘접근 가능’하다고 정의한다.

이 정의는 기존의 비계산수 중에서도 ‘리얼리즘’하게 다룰 수 있는 범주를 넓힌다. 저자는 먼저 유명한 비계산수인 ‘챠오스 수(Chaitin’s Ω)’, ‘리얼리티 수(Real numbers defined by diagonalization)’, 그리고 ‘베르트란드 수(​Bertrand’s number)’ 등을 검토한다. 각 수에 대해, 해당 수를 정의하는 무한열이 재귀적으로 열거될 수 있음을 보이고, 그 열거 과정을 시뮬레이션하는 TM을 구성함으로써 이들 모두가 접근 가능함을 증명한다. 특히 Ω는 프로그램이 멈출 확률을 나타내지만, 각 비트는 점진적으로 계산 가능한 하위 문제(‘Ω의 n번째 비트는 …’)로 환원될 수 있기에, 근사값을 생성하는 알고리즘이 존재한다는 점을 강조한다.

그 다음 저자는 “접근 불가능” 실수를 구성한다. 핵심 아이디어는 모든 가능한 TM M₁, M₂, … 에 대해, 각각이 생성하는 근사열을 ‘대각선’ 방식으로 회피하는 수 α 를 정의하는 것이다. 구체적으로, α의 n번째 비트를 Mₙ이 n번째 단계에서 출력하는 비트와 반대로 정한다. 이렇게 하면 어떤 TM도 α의 전체 무한열을 정확히 따라갈 수 없으며, 특히 어느 단계에서도 α에 대한 ε‑근사를 보장할 수 없게 된다. 중요한 점은 α가 정의 가능하다는 것이다; α는 위와 같은 대각선 규칙에 의해 명시적으로 기술될 수 있으므로, 메타수학적으로는 존재가 확정된다. 그러나 위 정의에 의해 α는 어떠한 TM도 점근적으로 수렴하도록 만들 수 없으므로 ‘접근 불가능’ 실수의 존재를 증명한다.

논문은 또한 접근 가능성과 계산 가능성 사이의 관계를 정리한다. 모든 계산 가능한 수는 당연히 접근 가능하지만, 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 접근 가능은 계산 가능보다 약한 개념이며, 이는 실수론에서 “효율적 근사”와 “정확한 계산”을 구분하는 새로운 층을 제공한다. 마지막으로, 접근 불가능 수가 존재함을 보임으로써, 실수 집합을 TM이 생성할 수 있는 근사열들의 폐포와 그 외의 ‘초월적’ 원소들로 명확히 구분한다는 점을 강조한다.