예스마무리 20문제 게임과 허프만 코딩의 조화

초록

본 논문은 전통적인 허프만 코딩이 “예스”로 끝나는 20문제 게임에 바로 적용되지 않는 문제를 지적하고, 모든 코드워드가 마지막에 ‘예스’를 포함하도록 변형한 새로운 접두사 코드를 제안한다. 변형 후에도 평균 질문 수는 정보 엔트로피 H(X)와 H(X)+1 사이에 머무른다는 것을 증명한다.

상세 분석

허프만 코딩은 확률 분포 P(X) 에 대해 평균 코드 길이가 엔트로피 H(X) 에 가장 가깝게 만드는 최적의 접두사 코드를 생성한다. 그러나 20문제 게임에서는 마지막 질문에 반드시 “예스”라는 답이 나오도록 설계된다. 즉, 모든 코드워드는 반드시 ‘1’(예스) 로 끝나야 하는 제약이 추가된다. 기존 허프만 코드는 이 제약을 만족하지 않을 수 있다. 논문은 두 단계의 변환을 제시한다. 첫째, 기존 허프만 트리를 그대로 사용하되, 각 리프 노드에 가상의 ‘예스’ 비트를 추가한다. 즉, 모든 코드워드에 ‘1’을 뒤에 붙여 강제로 “예스”로 종료한다. 둘째, 이 과정에서 발생하는 평균 길이 증가를 최소화하기 위해, 트리의 구조를 재조정한다. 구체적으로, 확률이 가장 낮은 두 노드를 병합할 때, 이미 ‘1’ 비트를 포함한 서브트리를 우선적으로 선택함으로써 전체 평균 길이의 증가를 H(X)+1 이하로 제한한다. 이때 증명은 다음과 같다. 변형 후 코드 길이 L′(x)=L(x)+1이며, L(x)는 원래 허프만 코드 길이이다. 따라서 평균 길이 E