수체의 K 이론 국소화 시퀀스 분할 조건

초록

p가 홀수이거나 F가 비예외적인 경우, 수체 F의 K_{2i}(F) 에 대한 짧은 정확한 국소화 시퀀스가 존재한다. 이 시퀀스가 분할되는지 여부는 F(μ_{p^n})의 특정 부분체들의 p-부분 클래스군의 비틀린 p-코인베리언트에 의해 완전히 결정된다. 저자는 또한 WK^{et}_{2i}(F)=0 라는 약한 소멸 조건과의 관계를 논하고 구체적인 예를 제시한다.

상세 분석

본 논문은 정수환의 K-이론에서 중요한 위치를 차지하는 K_{2i}(F) (i>0) 의 국소화 시퀀스를 대상으로, 그 시퀀스가 가환군(즉, split)인지 여부를 정확히 판정할 수 있는 대수적 조건을 제시한다. 먼저 p가 임의의 유리소수일 때, K_{2i}(F) 에 대한 짧은 정확한 시퀀스

0 → K_{2i}(\mathcal{O}F) → K{2i}(F) → ⨁{v∤∞} K{2i-1}(k_v) → 0

가 존재함을 상기한다. 여기서 v는 F의 유한소위이며, k_v는 그 잔여체이다. 이 시퀀스가 분할되는지는 K_{2i}(\mathcal{O}F) 의 p-주된 부분과 K{2i-1}(k_v) 의 p-주된 부분 사이의 상호작용에 달려 있다.

저자는 p가 홀수이거나, 혹은 F가 “예외적”(exceptional)하지 않은 경우에 한해, 이러한 상호작용을 Galois 공동작용을 통해 정확히 기술한다. 구체적으로, F(μ_{p^n}) (μ_{p^n}은 p^n 차원의 원시 n제곱근) 의 부분체 L ⊂ F(μ_{p^n}) 를 선택하고, 그에 대응하는 p-클래스군 Cl_L(p)의 비틀린 부분 Cl_L(p)(i) := Cl_L(p) ⊗ ℤ_p(i) 를 고려한다. 여기서 ℤ_p(i) 는 i 차의 Tate twist 로, Galois 군 G = Gal(L/F) 가 작용한다.

핵심은 (Cl_L(p)(i))_{G} , 즉 G-코인베리언트가 0 이면 시퀀스가 분할된다는 점이다. 반대로 코인베리언트가 비자명하면 비분할이며, 정확히 그 크기가 시퀀스의 비분할 정도를 측정한다. 이 결과는 Iwasawa 이론의 기본 도구인 “정규화된 사상”(norm map)과 “전달 사상”(transfer map)의 조합을 이용해 증명된다.

또한 저자는 WK^{et}{2i}(F) := \varprojlim_n H^2{et}(Spec \mathcal{O}_F