내포된 부분집합의 격자 구조

초록

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본 논문은 협동 게임 이론에서 사용되는 내포된 연합(임베디드 코알리션) — 즉, 플레이어 집합 N 의 부분집합 S와 S 를 포함하는 분할 π 의 쌍 (S, π) — 에 대한 명확한 순서 구조를 정의하고, 이 구조가 격자(lattice)임을 증명한다. 저자는 격자의 기본 연산(합·교), 계급 함수, 뫼비우스 함수 등을 전개하고, 이를 파티션 함수 형태 게임의 분석에 적용함으로써 기존 연구들의 통일된 수학적 토대를 제공한다.

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상세 분석

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논문은 먼저 “내포된 부분집합”(embedded subset)이라는 개념을 형식화한다. 기존 문헌에서는 (S, π) 쌍을 단순히 게임의 정의역으로만 사용했으며, 그 위에 자연스러운 부분순서가 존재한다는 명시적 언급이 없었다. 저자는 두 내포된 부분집합 (S, π)와 (T, σ) 사이에 “포함” 관계를
( (S,π) \preceq (T,σ) \iff S \subseteq T \text{ 그리고 } π \le σ )
로 정의한다. 여기서 π ≤ σ는 분할 격자(Partition Lattice)에서의 전통적인 정계(order)이며, 즉 σ가 π를 “더 세분화”한 형태임을 의미한다. 이 정의는 두 차원의 구조—집합 포함과 분할 포함—를 동시에 고려함으로써 자연스럽게 부분순서를 만든다.

다음으로 저자는 (\mathcal{E}_N = {(S,π) \mid S\subseteq N,; π\in\Pi(N),; S\inπ}) 가 유한 격자를 이룬다는 것을 증명한다. 합(join)과 교(meet)은 각각
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