대수적 코버전스와 번들 이론의 새로운 기초

본 논문은 이중점 관계(double point relation)를 이용해 대수적 코버전스(algebraic cobordism) 이론을 번들(bundle) 위로 자연스럽게 확장한다. 먼저, 기존의 Ω⁎ 이론이 Quillen의 공리적 관점에서 보편적인 지향 코호몰로지 이론으로 구축된 배경을 소개한다. 여기서 핵심은 스키마 X 위의 프로젝트형 사상 f:Y→X( Y는 매끄러운 차원 제한 스키마)들의 모노이드 M⁎(X)와, P¹ 위에서 0점에 대한 특수한 퇴화 π:Y→P¹가 A∪B로 분해되는 이중점 퇴화 구조를 이용해 정의되는 관계군 R⁎(X)이다. M⁎(X)/R⁎(X)인 ω⁎(X)는 Ω⁎(X)와 동형이며, 이는 Ω⁎가 이중점 관계를 통한 기하학적 표현을 가짐을 의미한다. 번들을 포함시키기 위해 (f:Y→X, E) 형태의 쌍을 고려한다. 여기서 E는 Y 위의 랭크 r 벡터 번들이다. 동일한 이중점 관계를 번들에 끌어올려 정의 3에 따라 ω_{n,r}(X)=M_{n,r}(X)/R_{n,r}(X) 를 만든다. 이는 차원 n, 랭크 r에 대한 코버전스 군이며, ω⁎(X)‑모듈 구조와 곱 구조를 동시에 갖는다. 핵심 결과는 ω_{n,r}(k) (k=ℂ)의 명시적 기저를 구성한 것이다. 파티션 쌍 (λ, μ)를 도입한다. λ는 n의 파티션, μ는 λ의 부분 파티션이며 길이 ℓ(μ)≤r이다. 각 (λ, μ)마다 제품 공간 P_λ=∏ P^{λ_i}와 라인 번들 L_m을 정의하고, φ(λ, μ)=