유한 단어의 최대 복잡도 연구

초록

본 논문은 길이 N인 유한 단어의 부분단어 복잡도 함수를 정의하고, 그 최대값 C(w)를 ‘최대 복잡도’라 명명한다. 모든 길이 N의 단어에 대해 C(w)의 전역 최대값을 K(N)이라 하고, K(N)를 달성하는 부분단어 길이 집합을 R(N), 해당 최대 복잡도를 갖는 단어의 개수를 M(N)라 정의한다. 저자는 K(N), R(N), M(N)의 정확한 계산식과 구조적 특성을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 알파벳 Σ의 크기를 q라 두고, 길이 N인 단어 w∈Σ^N에 대한 부분단어 복잡도 p_w(n)=|{u∈Σ^n : u는 w의 연속 부분문자열}|을 정의한다. p_w(n)은 1≤n≤N 구간에서 비감소적이지만, 일반적인 경우에는 완전 단조성을 보이지 않는다. 저자는 C(w)=max_{1≤n≤N} p_w(n)이라는 ‘최대 복잡도’를 도입하고, 모든 w에 대해 C(w)의 전역 최댓값 K(N)=max_{w∈Σ^N} C(w)를 연구한다.

주요 결과는 K(N)=q·N−(q−1)·⌊log_q N⌋ 로 표현될 수 있음을 보였으며, 이는 De Bruijn 시퀀스와 유사한 구조를 갖는 단어들이 최적임을 의미한다. 특히, N이 q^k 형태일 때는 K(N)=q·N−(q−1)·k이며, 이때 R(N)={k, k+1} 로서 두 개의 연속된 길이에서 최대 복잡도가 동시에 달성된다. 저자는 이러한 현상을 combinatorial design와 그래프 이론(특히 오일러 회로와 해밀턴 경로)과 연결시켜 증명한다.

또한 M(N)의 계산을 위해 자동화된 열거 기법을 제시한다. M(N)은 q^{N−k}·(q−1)·q!·(q^{k}−1) 형태로 전개되며, 여기서 k=⌊log_q N⌋이다. 이 식은 최대 복잡도를 갖는 단어들의 수가 알파벳 크기와 N의 로그에 의해 급격히 변함을 보여준다. 논문은 마지막으로 R(N)과 M(N)의 분포를 실험적으로 검증하고, 기존의 subword complexity 연구와 비교하여 새로운 상한값과 구조적 특징을 제공한다는 점을 강조한다.