문자열의 디 복잡도 연구

초록

이 논문은 문자열의 d‑복잡도를 정의하고, 특히 d=1인 경우에 대해 상세히 분석한다. d‑복잡도는 문자열이 포함할 수 있는 서로 다른 d‑부분문자열의 개수로, 생물학적 서열, 정보 이론, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 의미가 있다. 저자는 기본 성질을 증명하고, d=1일 때 복잡도와 문자열 길이 사이의 관계를 정량화한다. 또한 복잡도 계산을 위한 효율적인 알고리즘과 몇 가지 특수한 문자열 클래스에 대한 결과를 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 문자열 S의 d‑부분문자열을 정의한다. 길이 n인 문자열 S에 대해, 인덱스 i₁<i₂<…<i_k가 연속적이지 않아도 되고, 각 인덱스 사이의 차이가 최대 d인 경우를 d‑부분문자열이라 한다. 이렇게 정의된 d‑부분문자열들의 집합을 D_d(S)라 하면, d‑복잡도 C_d(S)=|D_d(S)|가 된다. 이 정의는 기존의 연속 부분문자열(즉 d=1) 개념을 일반화하면서도, 인덱스 간격 제한을 통해 실질적인 탐색 공간을 제어한다는 점에서 의미가 있다.

주요 정리는 다음과 같다. 첫째, C_d(S)는 문자열 길이 n에 대해 O(n·σ^d) 이하의 상한을 가진다(σ는 알파벳 크기). 둘째, d가 고정된 경우 C_d(S)는 다항식 시간에 정확히 계산될 수 있다. 이를 위해 저자는 슬라이딩 윈도우와 트라이(Trie) 구조를 결합한 알고리즘을 제시한다. 이 알고리즘은 각 시작 위치마다 최대 d개의 다음 문자만을 고려하므로, 전체 복잡도는 O(n·d·σ)이다.

특히 d=1인 경우, 즉 전통적인 연속 부분문자열에 대한 분석이 상세히 전개된다. 저자는 C_1(S)와 문자열 길이 n 사이의 정확한 관계식을 도출한다. 모든 가능한 연속 부분문자열의 최대 개수는 n(n+1)/2이지만, 실제 문자열에서는 중복이 발생한다. 논문은 중복을 제거하는 방법으로 suffix array와 LCP(Longest Common Prefix) 배열을 활용한다. 이때 C_1(S)=n(n+1)/2−∑_{i=1}^{n−1}LCP