수치 반군의 새로운 불변량과 Feng‑Rao 차수 경계의 정밀 추정

본 논문은 수치 반군 S의 다양한 정수 불변량 사이의 관계를 체계적으로 탐구하고, 이를 통해 Feng‑Rao 차수 경계(ORDER bound)와 연관된 핵심 원소 sₘ을 정확히 구하거나 유용한 상·하한을 제시한다. **1. 기본 설정과 기호** 반군 S⊂ℕ₀는 0을 포함하고, 합에 대해 닫혀 있으며, 보수(ℕ₀∖S)가 유한한 집합이다. 주요 불변량은 다음과 같다. - **다중성(e)**: 가장 작은 양의 원소 s₁. - **전도수(c)**: 모든 정수가 포함되는 최소값, 즉 c = min{r∈S | r+ℕ₀⊂S}. - **지배원(d)**: 전도수 바로 앞의 원소, d = max{ s∈S | s < c }. - **부분전도수(c′)**와 **전도수 직전 원소(d′)**: c′ = max{ s∈S | s ≤ d, s−1∉S }, d′ = max{ s∈S | s < c′ }. - **ℓ = c−1−d**: d보다 큰 구멍의 개수. - **eₛ = max{ s∈S | s−ℓ∉S }**: ℓ만큼 떨어진 가장 큰 원소. 또한 **t = d−eₛ**, **q = c−e−c′**, **k = d−c′**, **τ = #(S(1)∖S)** (Cohen‑Macaulay 유형) 등을 정의한다. **2. ν와 Feng‑Rao 차수 경계** 각 sᵢ∈S에 대해 ν(sᵢ) = |{(sⱼ, sₖ)∈S² | sᵢ = sⱼ + sₖ}| 로 정의한다. 차수 경계는 d_ORD(i) = min_{j>i} ν(sⱼ) 로 주어지며, ν(sᵢ) 의 비감소 구간이 존재한다는 것이 알려져 있다. 구체적으로, 존재하는 정수 m에 대해 ν(sᵢ) 은 i > m 에서 비감소하고, 이때 d_ORD(i) = ν(s_{i+1}) (i ≥ m) 가 된다. 따라서 **sₘ** 은 ν가 비감소하기 시작하는 최소 원소이며, 차수 경계의 정확한 값을 얻기 위해서는 sₘ 를 찾아야 한다. **3. 기존 결과와 새로운 접근** 이전 연구