허용 그래프와 제한 허용 그래프 인식의 NP‑완전성

초록

본 논문은 허용 그래프와 그 주요 부분 클래스인 제한 허용 그래프의 인식 문제가 NP‑완전임을 증명한다. 특히 입력이 트라페조이드 그래프인 경우에도 이 문제는 어려우며, 이를 위해 새로운 ‘비순환 방향성’ 개념과 정점 분할 기법을 이용해 트라페조이드 그래프를 순열 그래프로 변환하는 알고리즘을 제시한다.

상세 요약

허용 그래프는 각 정점에 구간과 허용값을 부여해 두 구간의 겹침이 허용값 이하이면 인접을 허용하는 그래프 클래스이며, 제한 허용 그래프는 모든 정점의 허용값이 구간 길이보다 작거나 같은 특수한 경우이다. 이들 그래프는 완전 그래프의 한 부분군으로, 많은 최적화 문제에 대해 다항시간 알고리즘이 존재하지만, 그래프 자체가 허용 그래프인지 여부를 판별하는 인식 문제는 30년 넘게 미해결이었다.

저자들은 먼저 ‘비순환 방향성(acyclic orientation)’이라는 새로운 구조적 속성을 정의한다. 이는 순열 그래프와 트라페조이드 그래프 모두에 적용될 수 있는 방향 부여 방식으로, 그래프의 비교 관계를 선형 순서와 일치시키면서 사이클을 방지한다. 기존 연구에서는 순열 그래프가 비순환 방향성을 항상 가짐이 알려졌지만, 트라페조이드 그래프에 대해서는 일반적으로 성립하지 않는다.

이를 극복하기 위해 저자들은 ‘정점 분할(vertex splitting)’ 기법을 고안한다. 특정 정점을 두 개의 새 정점으로 분리하고, 원래 정점과 연결된 이웃들을 적절히 재배치함으로써 트라페조이드 그래프를 순열 그래프로 변환한다. 중요한 점은 이 과정에서 비순환 방향성은 보존된다는 것이다. 즉, 변환 전후 그래프 모두 동일한 비순환 방향성을 갖게 된다.

이러한 변환을 기반으로, 저자들은 3‑SAT 인스턴스를 트라페조이드 그래프 형태로 인코딩하는 다항시간 감소를 설계한다. 변환된 그래프가 제한 허용 그래프(또는 일반 허용 그래프)인지 여부는 원래 논리식의 만족 가능성과 일대일 대응한다. 따라서 허용 그래프와 제한 허용 그래프 인식 문제가 NP‑hard임을 보인다. 동시에, 인식 문제는 명시적으로 검증 가능한 증명(비순환 방향성과 정점 분할 기록)을 제공하므로 NP에 속함을 보여 NP‑complete임을 확정한다.

이 결과는 두 가지 측면에서 의미가 크다. 첫째, 완전 그래프의 많은 하위 클래스가 다항시간 인식 알고리즘을 갖는 전통적인 완전 그래프 이론과 달리, 허용 그래프 계열은 구조적으로 복잡함을 입증한다. 둘째, 정점 분할을 이용한 트라페조이드 → 순열 변환 기법은 독립적인 도구로서, 다른 그래프 클래스의 인식 알고리즘 설계에도 활용 가능함을 시사한다. 최근에도 이 기법이 다른 복합 그래프 구조의 인식에 적용된 사례가 보고되고 있다.