원시 재귀 함수로 보는 자동기와 그 병렬 합성

초록

이 논문은 무어형 상태 기계(전이기)를 원시 재귀 함수로 기술하는 방법을 제시하고, 동시에 여러 원시 재귀 정의를 이용해 병렬 합성을 정의한다. 이를 통해 복잡한 시스템을 간결하게 모델링할 수 있으며, 알제브라적 자동기 이론 및 Krohn‑Rhodes 정리와의 연계도 살펴본다.

상세 분석

논문은 먼저 무어형 상태 기계(Moore machine)를 전통적인 5‑튜플(상태 집합, 입력 알파벳, 출력 알파벳, 전이 함수, 출력 함수)으로 정의한 뒤, 이를 원시 재귀 함수 형태로 재표현한다. 구체적으로, 입력 문자열을 자연수 인덱스로 매핑하고, 상태 전이를 f:ℕ→S와 출력 함수를 g:ℕ→O라는 두 원시 재귀 함수로 기술한다. 여기서 f는 기본값 f(0)=s₀(초기 상태)와 재귀식 f(n+1)=δ(f(n),aₙ)으로 정의되며, aₙ은 입력 문자열의 n번째 기호를 나타낸다. g는 출력 함수 λ와 결합해 g(n)=λ(f(n))으로 정의된다. 이러한 정의는 전통적인 자동기와 동등함을 보이며, 재귀적 정의만으로도 모든 유한 상태 기계의 동작을 완전하게 기술할 수 있음을 증명한다.

다음으로 병렬 합성(parallel composition)을 다룰 때, 여러 개의 원시 재귀 함수 f₁,…,f_k를 동시에 정의하는 동시 원시 재귀(simultaneous primitive recursion)를 도입한다. 각 구성 요소 기계 i는 자체 전이 함수 δ_i와 출력 λ_i를 갖고, 전체 시스템의 상태는 튜플 (f₁(n),…,f_k(n)) 로 표현된다. 전이 규칙은 입력 aₙ에 대해 각 f_i가 독립적으로 δ_i를 적용하는 동시에, 상호작용이 필요한 경우에는 추가적인 동기화 함수 σ를 정의해 상태 간 의존성을 명시한다. 이 방식은 전통적인 동기식 제품(동시 전이)과 비동기식 제품(독립 전이)을 모두 포괄한다.

논문은 또한 이러한 원시 재귀 표현이 알제브라적 자동기 이론과 어떻게 연결되는지를 논의한다. 특히, Krohn‑Rhodes 정리에서 말하는 복합기계는 군과 아벨리안 그룹의 직렬·병렬 결합으로 구성되는데, 원시 재귀 함수는 이러한 구조를 함수적 관점에서 재구성한다. 즉, 군 요소는 순환 재귀식으로, 아벨리안 요소는 선형 재귀식으로 나타낼 수 있다. 이를 통해 복잡한 자동기의 분해와 재구성이 함수적 재귀식으로 변환될 수 있음을 보인다.

마지막으로 구현 관점에서의 장점을 제시한다. 프로그래밍 언어에서 재귀 함수는 자연스럽게 구현 가능하므로, 복잡한 상태 기계의 설계·검증·시뮬레이션을 기존의 전이표 기반 접근보다 간결하고 오류 가능성이 적은 방식으로 수행할 수 있다. 또한, 원시 재귀는 계산 복잡도 측면에서 선형 시간 보장을 제공하므로, 실시간 시스템에도 적용 가능하다.