확장된 쌍곡공간과 데시터공간의 삼각법

초록

본 논문은 쌍곡공간과 데시터공간을 각각 확장한 ‘확장 쌍곡공간’과 ‘확장 데시터공간’에서 코사인·사인 법칙을 통합적으로 유도한다. 두 공간은 메트릭이 –1 배 차이인 동일한 구조이며, 이를 통해 하이퍼볼릭과 구면 삼각법 사이의 유사성을 자연스럽게 설명한다. 또한 이러한 확장 삼각법을 이용해 다각형의 변·각 관계를 일관된 기하학적 시각으로 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 기존의 쌍곡공간 ( \mathbb H^n )과 데시터공간 ( S^n_1 )을 각각 실수축을 따라 연장한 ‘확장 쌍곡공간’ ( \widehat{\mathbb H}^n )와 ‘확장 데시터공간’ ( \widehat{S}^n_1 )을 정의한다. 이때 두 공간은 동일한 매니폴드 위에 정의되지만, 메트릭 텐서는 서로 ( g_{\widehat{S}} = -,g_{\widehat{\mathbb H}} ) 이라는 단순한 부호 차이만을 가진다. 이러한 관계는 두 공간이 복소수적 해석 연속(analytic continuation)으로 서로 연결될 수 있음을 의미한다.

핵심은 코사인·사인 법칙을 이 확장된 설정에서 도출하는 과정이다. 기존의 쌍곡 코사인 법칙
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